Trvání Macaulay vs. modifikované trvání

Pro výpočet durace dluhopisů se používá hlavně doba trvání makuly a modifikovaná doba trvání. Doba trvání Macaulay počítá vážený průměr času, než držitel dluhopisu obdrží peněžní toky dluhopisu. Naopak, modifikovaná durace měří cenovou citlivost dluhopisu, když dojde ke změně výnosu do splatnosti.

Doba trvání Macaulay

Doba trvání Macaulay se vypočítá vynásobením časového období periodickou platbou kupónem a vydělením výsledné hodnoty 1 plus periodický výnos zvýšený do doby do splatnosti. Poté se hodnota vypočítá pro každé období a sečte se. Výsledná hodnota se pak přičte k celkovému počtu období vynásobenému nominální hodnotou, vydělené 1, plus periodický výnos zvýšený k celkovému počtu období. Poté se hodnota vydelí aktuální cenou dluhopisu.

Doba trvání Macaulay = (∑t = 1nt ∗ C (1 + y) t + n ∗ M (1 + y) n) Aktuální cena dluhopisu kdekoli: C = periodická platba výplata = periodický výnosM = hodnota splatnosti dluhopisu = doba trvání dluhopisu v období \ begin {zarovnané} & \ text {Macaulay Duration} = \ frac {\ left (\ sum_ {t = 1} ^ {n} {\ frac {t * C} {\ left (1 + y \ right) ^ t}} + \ frac {n * M} {\ left (1 + y \ right) ^ n} \ right)} {\ text {Aktuální cena dluhopisů}} \\ & \ textbf {kde:} \\ & C = \ text {periodická platba kupónu} \\ & y = \ text {periodický výnos} \\ & M = \ text {hodnota splatnosti dluhopisu} \\ & n = \ text {doba trvání dluhopisu v obdobích} \\ \ end {zarovnanost} Doba trvání Macaulay = aktuální cena dluhopisů (∑t = 1n (1 + y) tt ∗ C + (1 + y) nn ∗ M) kde: C = periodická výplata kupónu = periodický výnosM = hodnota splatnosti dluhopisu = doba trvání dluhopisů v obdobích

Cena dluhopisu se vypočítá vynásobením peněžního toku 1, mínus 1, děleno 1, plus výnos do splatnosti, zvýšeného na počet období dělený požadovaným výnosem. Výsledná hodnota se přičte k nominální hodnotě nebo hodnotě splatnosti dluhopisu vydělenému 1 plus výnos do splatnosti zvýšený na celkový počet období.

Předpokládejme například dobu trvání pětiletého dluhopisu Macaulay s hodnotou splatnosti 5 000 USD a kuponovou sazbou 6% je 4, 87 let ((1 * 60) / (1 + 0, 06) + (2 * 60) / (1 + 0, 06 ^ 2 + (3 * 60) / (1 + 0, 06) ^ 3 + (4 * 60) / (1 + 0, 06) ^ 4 + (5 * 60) / (1 + 0, 06) ^ 5 + (5 * 5000) / (1 + 0, 06) ^ 5) / (60 * ((1- (1 + 0, 06) ^ -5) / (0, 06)) + (5000 / (1 + 0, 06) ^ 5)).

Upravená durace tohoto dluhopisu s výnosem do splatnosti 6% za jedno kuponové období je 4, 59 let (4, 87 / (1 + 0, 06 / 1)). Pokud se tedy výnos do splatnosti zvýší z 6% na 7%, durace dluhopisu se sníží o 0, 28 roku (4, 87 - 4, 59).

Vzorec pro výpočet procentní změny ceny dluhopisu je změna výnosu vynásobená zápornou hodnotou modifikované durace vynásobená 100%. Tato výsledná procentuální změna v dluhopisu, pro 1% zvýšení výtěžku, je vypočtena na -4, 59% (0, 01 * - 4, 59 * 100%).

Upravená doba trvání

Modified Duration = Macauley Duration (1 + YTMn) kde: YTM = výnos do splatnosti \ begin {zarovnáno} & \ text {Modified Duration} = \ frac {\ text {Macauley Duration}} {\ left (1 + \ frac { YTM} {n} \ right)} \\ & \ textbf {kde:} \\ & YTM = \ text {výnos do splatnosti} \\ & n = \ text {počet kupónových období za rok} \ end {zarovnáno} Upraveno Duration = (1 + nYTM) Macauley Duration kde: YTM = výnos do splatnosti

Upravené trvání je upravená verze trvání Macaulay, která odpovídá změně výnosu na splatnost. Vzorec pro modifikované trvání je hodnota doby trvání Macaulay vydělená 1 plus výnos do splatnosti, vydělená počtem kupónových období za rok. Upravená durace určuje změny v trvání dluhopisu a v ceně pro každou procentní změnu ve výnosu do splatnosti.

Předpokládejme například, že šestiletý dluhopis má nominální hodnotu 1 000 USD a roční kuponovou sazbu 8%. Doba trvání Macaulay se počítá na 4, 99 let ((1 * 80) / (1 + 0, 08) + (2 * 80) / (1 + 0, 08) ^ 2 + (3 * 80) / (1 + 0, 08) ^ 3 + (4 * 80) / (1 + 0, 08) ^ 4 + (5 * 80) / (1 + 0, 08) ^ 5 + (6 * 80) / (1 + 0, 08) ^ 6 + (6 * 1000) / (1 + 0, 08) ^ 6) / (80 * (1- (1 + 0, 08) ^ -6) / 0, 08 + 1000 / (1 + 0, 08) ^ 6).

Upravená durace tohoto dluhopisu s výnosem do splatnosti 8% za jedno kuponové období je 4, 62 let (4, 99 / (1 + 0, 08 / 1)). Pokud se tedy výnos do splatnosti zvýší z 8% na 9%, durace dluhopisu se sníží o 0, 37 roku (4, 99 - 4, 62).

Vzorec pro výpočet procentní změny ceny dluhopisu je změna výnosu vynásobená zápornou hodnotou modifikované durace vynásobená 100%. Tato výsledná procentuální změna dluhopisu se pro zvýšení úrokové sazby z 8% na 9% počítá na -4, 62% ​​(0, 01 * - 4, 62 * 100%).

Pokud tedy úrokové sazby vzrostou o 1% přes noc, očekává se, že cena dluhopisu klesne o 4, 62%.

Modifikované durační a úrokové swapy

Upravená doba trvání by mohla být prodloužena pro výpočet množství let, za něž by bylo třeba úrokového swapu vrátit cenu zaplacenou za tento swap. Úrokový swap je výměna jedné sady peněžních toků za jinou a je založena na specifikacích úrokových sazeb mezi stranami.

Upravená doba trvání se vypočítá vydělením hodnoty dolaru jedné změny základního bodu úrokové swapové části nebo řady peněžních toků současnou hodnotou řady peněžních toků. Hodnota je pak vynásobena 10 000. Upravené trvání pro každou řadu peněžních toků lze také vypočítat vydělením hodnoty dolaru změny peněžních toků v základním bodě pomyslnou hodnotou plus tržní hodnotou. Frakce se pak vynásobí 10 000.

Pro výpočet modifikované doby trvání úrokového swapu musí být vypočtena modifikovaná doba trvání obou úseků. Rozdíl mezi těmito dvěma modifikovanými duracemi je změněné trvání úrokového swapu. Vzorec pro modifikované trvání úrokového swapu je modifikované trvání přijímajícího úseku mínus modifikované trvání platícího úseku.

Předpokládejme například, že banka A a banka B vstupují do úrokového swapu. Změněné trvání přijímacího úseku swapu se vypočítá jako devět let a změněné trvání platícího úseku se vypočítá jako pět let. Výsledné modifikované trvání úrokového swapu je čtyři roky (9 let - 5 let).

Porovnání doby trvání Macaulay a modifikované doby trvání

Jelikož doba trvání Macaulay měří vážený průměr času, který musí investor držet dluhopis, dokud se současná hodnota peněžních toků dluhopisu nerovná částce zaplacené za dluhopis, je často používán správci dluhopisů, kteří hledají řízení rizika portfolia dluhopisů pomocí imunizačních strategií .

Naproti tomu modifikovaná durace určuje, do jaké míry se durace mění pro každou procentní změnu ve výnosu, zatímco měří, do jaké míry změna úrokových sazeb ovlivňuje cenu obligace. Upravená durace tedy může investorům dluhopisů poskytnout opatření k měření rizika tím, že přiblíží, jak by mohla cena dluhopisu klesat se zvýšením úrokových sazeb. Je důležité si uvědomit, že ceny dluhopisů a úrokové sazby mají mezi sebou inverzní vztah.