Lognormální a normální rozdělení

Matematika za finančními prostředky může být trochu matoucí a únavná. Naštěstí většina počítačových programů provádí složité výpočty. Porozumění různým statistickým termínům a metodám, jejich významu a toho, co nejlépe analyzuje investice, je však při výběru vhodného zabezpečení a získání požadovaného dopadu na portfolio zásadní.

Jedním z důležitých rozhodnutí je výběr mezi normálním a lognormálním rozdělením, na které se často odkazuje ve vědecké literatuře. Před výběrem potřebujete vědět:

• Co jsou zač
• Jaké rozdíly mezi nimi existují
• Jak ovlivňují investiční rozhodnutí

Normální versus logický

Normální i lognormální rozdělení se používají ve statistické matematice k popisu pravděpodobnosti výskytu události. Mávání mincí je snadno pochopitelný příklad pravděpodobnosti. Pokud převrátíte minci 1000krát, jaké je rozdělení výsledků? To znamená, kolikrát přistane na hlavách nebo ocasech? Existuje 50% pravděpodobnost, že přistane na hlavách nebo ocasech. Tento základní příklad popisuje pravděpodobnost a distribuci výsledků.

Existuje mnoho typů rozdělení, z nichž jeden je normální nebo zvonkový křivka. (Viz obrázek 1.)

Při normálním rozdělení spadá 68% (34% + 34%) výsledků do jedné standardní odchylky a 95% (68% + 13, 5% + 13, 5%) spadá do dvou směrodatných odchylek. Ve středu (0 bod na obrázku výše) jsou střední hodnota (střední hodnota v sadě), režim (hodnota, která se vyskytuje nejčastěji) a průměr (aritmetický průměr) jsou stejné.

Lognormální rozdělení se liší od normálního rozdělení několika způsoby. Hlavní rozdíl je ve tvaru: normální rozdělení je symetrické, zatímco lognormální rozdělení není. Protože hodnoty v lognormálním rozdělení jsou kladné, vytvářejí pravoúhlou křivku. (Viz obr. 2)

Tato skewness je důležitá při určování, která distribuce je vhodná pro použití při investičním rozhodování. Dalším rozlišením je, že hodnoty použité k odvození lognormálního rozdělení jsou normálně distribuovány.

Vysvětleme si příklad. Investor chce znát očekávanou budoucí cenu akcií. Protože zásoby rostou složeným tempem, musí použít růstový faktor. Pro výpočet možných očekávaných cen vezme aktuální cenu akcií a vynásobí ji různými mírami návratnosti (což jsou matematicky odvozené exponenciální faktory založené na sdružování), u nichž se předpokládá, že jsou normálně distribuovány. Když investor průběžně kombinuje výnosy, vytvoří lognormální rozdělení. Toto rozdělení je vždy kladné, i když některé míry návratnosti jsou záporné, což se stane při normálním rozdělení 50% času. Budoucí cena akcií bude vždy kladná, protože ceny akcií nemohou klesnout pod 0 $.

Kdy použít normální versus lognormální rozdělení

Předchozí příklad nám pomohl dospět k tomu, co je pro investory opravdu důležité: kdy použít každou metodu. Lognormální je nesmírně užitečné při analýze cen akcií. Dokud se předpokládá, že použitý růstový faktor je normálně distribuován (jak předpokládáme s mírou návratnosti), pak má lognormální rozdělení smysl. Normální rozdělení nelze použít k modelování cen akcií, protože má zápornou stránku a ceny akcií nemohou klesnout pod nulu.

Další podobné použití lognormální distribuce je u stanovení cen za možnosti. Model Black-Scholes - používaný k oceňování opcí - používá lognormální rozdělení jako základ pro stanovení cen opcí.

Naopak, normální výpočet funguje lépe při výpočtu celkových výnosů portfolia. Normální rozdělení se používá proto, že vážený průměrný výnos (součin hmotnosti cenného papíru v portfoliu a jeho míra návratnosti) je přesnější při popisu skutečného výnosu z portfolia (kladného nebo záporného), zejména pokud se váhy liší o velký stupeň. Typický příklad je následující:

Portfolio Holdings Weights Vrací vážený výnos

Akcie A 40% 12% 40% * 12% = 4, 8%

Zásoba B 60% 6% 60% * 6% = 3, 6%

Celkový vážený průměrný výnos = 4, 8% + 3, 6% = 8, 4%

Ačkoli lognormální výnos pro celkovou výkonnost portfolia může být rychlejší vypočítat za delší časové období, nedokáže zachytit jednotlivé váhy akcií, což může výnos výrazně skreslit. Také výnosy z portfolia mohou být kladné nebo záporné a lognormální rozdělení nedokáže zachytit negativní aspekty.

Sečteno a podtrženo

Přestože nuance, které rozlišují normální a lognormální rozdělení, mohou většinu času uniknout, znalost vzhledu a charakteristik každé distribuce poskytne přehled o tom, jak modelovat výnosy portfolia a budoucí ceny akcií.