Pochopení Binomial Option Pricing Model

Shodnout se na přesném stanovení ceny jakéhokoli obchodovatelného aktiva je náročné - proto se ceny akcií neustále mění. Ve skutečnosti společnosti jen stěží mění své ocenění na každodenní bázi, ale jejich ceny akcií a ocenění se mění téměř každou sekundu. Tento problém s dosažením konsensu o správném stanovení ceny jakéhokoli obchodovatelného aktiva vede k krátkodobým arbitrážním příležitostem.

Ale spousta úspěšných investic se scvrkává na jednoduchou otázku současného ocenění - jaká je dnešní správná cena pro očekávanou budoucí výplatu?

Ohodnocení binominálních možností

Na konkurenčním trhu musí mít aktiva se stejnou strukturou výplaty stejnou cenu, aby se zabránilo arbitrážním příležitostem. Ocenění možností bylo náročným úkolem a cenové rozdíly vedou k arbitrážním příležitostem. Black-Scholes zůstává jedním z nejpopulárnějších modelů používaných pro cenové možnosti, ale má svá omezení.

Binomický model oceňování opcí je další populární metoda používaná pro oceňování opcí.

Příklady

Předpokládejme, že u určité akcie existuje možnost volání s aktuální tržní cenou 100 USD. Možnost za peníze (ATM) má realizační cenu 100 $ s časem do uplynutí jednoho roku. Existují dva obchodníci, Peter a Paula, kteří souhlasí s tím, že cena akcií vzroste za jeden rok na 110 USD nebo na 90 USD.

Shodnou se na očekávaných cenových hladinách v daném časovém rámci jednoho roku, ale nesouhlasí s pravděpodobností pohybu nahoru nebo dolů. Peter věří, že pravděpodobnost, že cena akcií klesne na 110 USD, je 60%, zatímco Paula věří, že je to 40%.

Na základě toho, kdo by byl ochoten zaplatit za cenu hovoru vyšší cenu? Možná Peter, protože očekává vysokou pravděpodobnost vzestupu.

Výpočty binominálních možností

Dvě aktiva, na nichž ocenění závisí, jsou call opce a podkladové akcie. Mezi účastníky panuje shoda, že základní cena akcií se může pohybovat ze současných 100 USD na 110 nebo 90 USD za jeden rok a nejsou možné žádné další pohyby cen.

Ve světě bez arbitráže, pokud musíte vytvořit portfolio složené z těchto dvou aktiv, call opce a podkladových akcií, takže bez ohledu na to, kam podkladová cena jde - 110 $ nebo 90 $ - čistá návratnost portfolia zůstává vždy stejná . Předpokládejme, že si koupíte akcie „d“ podkladové a krátké jednorázové opce k vytvoření tohoto portfolia.

Pokud cena klesne na 110 USD, vaše akcie budou mít hodnotu 110 USD * d a ztratíte 10 USD na výplatě krátkého hovoru. Čistá hodnota vašeho portfolia bude (110d - 10).

Pokud cena klesne na 90 USD, vaše akcie budou mít hodnotu 90 USD * d a platnost této možnosti skončí bezcenné. Čistá hodnota vašeho portfolia bude (90 d).

Pokud si přejete, aby hodnota vašeho portfolia zůstala stejná bez ohledu na to, kam se podkladová cena akcií pohybuje, měla by hodnota vašeho portfolia zůstat v obou případech stejná:

h (d) −m = l (d) kde: h = nejvyšší potenciální podkladová cena = počet podkladových akciím = peníze ztracené při výplatě za krátké volání = = nejnižší potenciální podkladová cena \ start {zarovnáno} & h (d) - m = l (d) \\ & \ textbf {where:} \\ & h = \ text {Nejvyšší potenciální podkladová cena} \\ & d = \ text {Počet podkladových akcií} \\ & m = \ text {Peníze ztracené při výplatě krátkých hovorů} \\ & l = \ text {Nejnižší potenciální podkladová cena} \\ \ end {zarovnání} h (d) −m = l (d) kde: h = Nejvyšší potenciální podkladová cena = Počet podkladových akciím = Peníze ztracené při krátké výzvě payoffl = Nejnižší potenciální základní cena

Takže pokud si koupíte polovinu podílu, za předpokladu, že jsou možné dílčí nákupy, podaří se vám vytvořit portfolio tak, aby jeho hodnota zůstala stejná v obou možných stavech v daném časovém rámci jednoho roku.

110d − 10 = 90dd = 12 \ begin {zarovnané} a 110d - 10 = 90d \\ & d = \ frac {1} {2} \\ \ end {zarovnáno} 110d − 10 = 90dd = 21

Tato hodnota portfolia, označená (90d) nebo (110d - 10) = 45, je o jeden rok níže. Pro výpočet její současné hodnoty může být diskontována bezrizikovou mírou návratnosti (za předpokladu 5%).

Současná hodnota = 90d × e (−5% × 1 rok) = 45 × 0, 9523 = 42, 85 \ begin {zarovnáno} \ text {Současná hodnota} & = 90d \ times e ^ {(-5 \% \ times 1 \ text {Rok})} \\ & = 45 \ krát 0, 9523 \\ & = 42, 85 \\ \ end {zarovnan}} Současná hodnota = 90d × e (−5% × 1 rok) = 45 × 0, 9523 = 42, 85

Vzhledem k tomu, že v současné době je portfolio složeno z ½ podílu podkladových akcií (s tržní cenou 100 USD) a jedné krátké výzvy, mělo by se rovnat současné hodnotě.

12 × 100-1 × × Cena hovoru = 42, 85 $Call Price = $ 7, 14, tj. Cena hovoru dnes \ begin {zarovnané} & \ frac {1} {2} \ krát 100 - 1 \ times \ text {Cena hovoru = = \ $ 42, 85 \\ & \ text {Cena hovoru} = \ 7, 11 $ \ text {, tj. Dnešní cena hovoru} \\ \ end {zarovnáno} 21 × 100-1 × × Cena hovoru = 42, 85 $Cena cena = 7, 14 $, tj. cena hovoru dnes

Protože je to založeno na předpokladu, že hodnota portfolia zůstává stejná bez ohledu na to, jakým směrem se podkladová cena pohybuje, nehraje se pravděpodobnost pohybu nahoru nebo dolů. Portfolio zůstává bez rizika bez ohledu na základní pohyby cen.

V obou případech (předpokládá se nárůst na 110 USD a dolů na 90 USD) je vaše portfolio vůči riziku neutrální a dosahuje bezrizikové míry návratnosti.

Proto by oba obchodníci, Peter a Paula, byli ochotni zaplatit za tuto výzvu za volání 7, 11 USD, a to i přes rozdílné vnímání pravděpodobnosti vzestupů (60% a 40%). Jejich individuálně vnímané pravděpodobnosti nezáleží na oceňování opcí.

Předpokládáme-li, že záleží na individuálních pravděpodobnostech, mohly se ukázat arbitrážní příležitosti. Ve skutečném světě takové arbitrážní příležitosti existují s menšími cenovými rozdíly a v krátkodobém horizontu zmizí.

Ale kde je tolik medializovaná volatilita ve všech těchto výpočtech, důležitý a citlivý faktor, který ovlivňuje oceňování opcí?

Nestálost je již zahrnuta v povaze definice problému. Za předpokladu dvou (a pouze dvou - odtud název „binomický“) cenových hladin ($ 110 a 90 $) je volatilita v tomto předpokladu implicitní a zahrnuta automaticky (10% v obou případech v tomto příkladu).

Black-Scholes

Je však tento přístup správný a koherentní s běžně používanou cenou Black-Scholes? Výsledky kalkulačky voleb (se svolením OIC) se těsně shodují s vypočítanou hodnotou:

Skutečný svět bohužel není tak jednoduchý jako „pouze dva státy“. Akcie mohou dosáhnout několika cenových hladin před vypršením platnosti.

Je možné zahrnout všechny tyto více úrovní do binomického cenového modelu, který je omezen pouze na dvě úrovně ">

Jednoduchá matematika

Zobecnit tento problém a řešení:

„X“ je současná tržní cena akcie a „X * u“ a „X * d“ jsou budoucí ceny pro pohyby nahoru a dolů o „roky“ později. Faktor "u" bude větší než jeden, protože indikuje pohyb nahoru a "d" bude ležet mezi nulou a jedním. Pro výše uvedený příklad u = 1, 1 ad = 0, 9.

Výplaty opce na volání jsou „P _nahoru “ a „P _dn “ pro pohyby nahoru a dolů v době vypršení platnosti.

Pokud stavíte portfolio „s“ akcií zakoupených dnes a zkrátíte jednorázovou volbu, pak po čase „t“:

VUM = s × X × u − Pupwhere: VUM = Hodnota portfolia v případě posunu nahoru \ begin {zarovnané} & \ text {VUM} = s \ times X \ times u - P_ \ text {up} \\ & \ textbf {where:} \\ & \ text {VUM} = \ text {Hodnota portfolia v případě posunu nahoru} \\ \ end {zarovnání} VUM = s × X × u − Pup kde: VUM = Hodnota portfolia v případě posunu nahoru

VDM = s × X × d − Pdownwhere: VDM = Hodnota portfolia v případě posunu dolů \ begin {Zarovnání} & \ text {VDM} = s \ times X \ times d - P_ \ text {down} \\ & \ textbf {where:} \\ & \ text {VDM} = \ text {Hodnota portfolia v případě posunu dolů} \\ \ end {zarovnání} VDM = s × X × d − Pdown kde: VDM = Hodnota portfolia v případě posunu dolů

Pro podobné ocenění v obou případech pohybu cen:

s × X × u − Pup = s × X × d − Pdowns \ times X \ times u - P_ \ text {up} = s \ times X \ times d - P_ \ text {down} s × X × u− Pup = s × X × d − Pdown

s = Pup − PdownX × (u − d) = Počet akcií, které je třeba koupit pro = bezrizikové portfolio \ begin {zarovnané} s & = \ frac {P_ \ text {up} - P_ \ text {down} } {X \ times (u - d)} \\ & = \ text {Počet akcií ke koupi} \\ & \ phantom {=} \ text {portfolio bez rizika} \\ \ end {zarovnané} s = X × (u − d) Pup −Pdown = Počet akcií, které lze koupit = bezrizikové portfolio

Budoucí hodnota portfolia na konci „t“ let bude:

V případě posunu nahoru = s × X × u − Pup = Pup − Pdownu − d × u − Pup \ begin {zarovnání} \ text {V případě posunu nahoru} & = s \ times X \ times u - P_ \ text {up} \\ & = \ frac {P_ \ text {up} - P_ \ text {down}} {u - d} \ times u - P_ \ text {up} \\ \ end {zarovnání} V případě Přesun nahoru = s × X × u − Pup = u − dPup −Pdown × u − Pup

V případě posunu dolů = s × X × d − Pdown = Pup − Pdownu − d × d − Pdownování \ begin {zarovnání} \ text {V případě posunu dolů} & = s \ times X \ times d - P_ \ text {down} \\ & = \ frac {P_ \ text {up} - P_ \ text {down}} {u - d} \ times d - P_ \ text {down} \\ \ end {zarovnaný} V případě Posun dolů = s × X × d − Pdown = u − dPup −Pdown × d − Pdown

Dnešní hodnotu lze získat diskontováním bezrizikovou návratností:

PV = e (−rt) × [Pup − Pdownu − d × u − Pup] kde: PV = současnost Valuer = míra návratnosti = čas, v letech \ začátek {zarovnáno} a \ text {PV} = e (-rt) \ times \ left [\ frac {P_ \ text {up} - P_ \ text {down}} {u - d} \ times u - P_ \ text {up} \ right] \\ & \ textbf { kde:} \\ & \ text {PV} = \ text {Současná hodnota} \\ & r = \ text {Míra návratnosti} \\ & t = \ text {Čas v letech} \\ \ end {zarovnanost} PV = e (−rt) × [u − dPup −Pdown × u − Pup] kde: PV = současnost Valuer = míra návratnosti = čas, v letech

To by se mělo shodovat s držením akcií portfolia „s“ za cenu X a hodnota krátké výzvy „c“ (současná držba (s * X - c) by se měla rovnat tomuto výpočtu.) Řešení pro „c“ mu nakonec poskytne tak jako:

Poznámka: Je-li pojistné za volání zkráceno, mělo by to být doplnění portfolia, nikoli odčítání.

c = e (−rt) u − d × [(e (−rt) −d) × Pup + (u − e (−rt)) P Down) c = \ frac {e (-rt)} {u - d} \ times [(e (-rt) - d) \ times P_ \ text {up} + (u - e (-rt)) \ times P_ \ text {down}] c = u − de (−rt) × [(e (−rt) −d) × Pup + (u − e (−rt)) × Pdown]

Dalším způsobem, jak napsat rovnici, je její uspořádání:

Bereme „q“ jako:

q = e (−rt) −du − dq = \ frac {e (-rt) - d} {u - d} q = u − de (−rt) −d

Pak se rovnice stane:

c = e (−rt) × (q × Pup + (1 − q) × pokles) c = e (-rt) \ times (q \ times P_ \ text {up} + (1 - q) \ times P_ \ text {down}) c = e (−rt) × (q × Pup + (1 − q) × Pdown)

Změna uspořádání rovnice na „q“ nabídla novou perspektivu.

Nyní můžete interpretovat „q“ jako pravděpodobnost posunu podkladu směrem nahoru (protože „q“ je spojeno s P _nahoru a „1-q“ je spojeno s P _dn ). Celkově rovnice představuje současnou cenu opce, diskontovanou hodnotu její výplaty při vypršení platnosti.

Toto „Q“ je jiné

Jak se tato pravděpodobnost „q“ liší od pravděpodobnosti pohybu nahoru nebo dolů podkladového ">

VSP = q × X × u + (1 − q) × X × dwhere: VSP = hodnota ceny akcií v čase t \ begin {zarovnání} & \ text {VSP} = q \ times X \ times u + (1 - q) \ times X \ times d \\ & \ textbf {kde:} \\ & \ text {VSP} = \ text {Hodnota ceny akcií v čase} t \\ \ end {zarovnání} VSP = q × X × u + (1 − q) × X × kdekoli: VSP = hodnota ceny akcií v čase t

Nahrazením hodnoty "q" a přeskupením se cena akcií v čase "t" dostane na:

Akciová cena = e (rt) × X \ begin {zarovnáno} & \ text {Akciová cena} = e (rt) \ times X \\ \ end {zarovnáno} Akciová cena = e (rt) × X

V tomto předpokládaném světě dvou států cena akcií jednoduše stoupá bezrizikovou mírou návratnosti, přesně jako bezrizikové aktivum, a tudíž zůstává nezávislá na jakémkoli riziku. Investoři nejsou lhostejní k riziku podle tohoto modelu, takže to představuje rizikově neutrální model.

Pravděpodobnost „q“ a „(1-q)“ je známa jako riziko-neutrální pravděpodobnosti a metoda oceňování je známa jako riziko-neutrální oceňovací model.

Příklad scénáře má jeden důležitý požadavek - budoucí struktura výplaty je vyžadována s přesností (úroveň $ 110 a 90 $). Ve skutečnosti není taková srozumitelnost ohledně stupňových cenových hladin možná; spíše se cena pohybuje náhodně a může se vyrovnat na více úrovních.

Chcete-li příklad dále rozšířit, předpokládejte, že jsou možné cenové hladiny ve dvou krocích. Známe závěrečné výplaty druhého kroku a musíme tuto možnost ocenit dnes (v počátečním kroku):

V opačném případě lze meziobdobní ocenění v prvním kroku (v t = 1) provést za použití konečného výplaty ve druhém kroku (t = 2), a pak s použitím těchto vypočtených hodnot v prvním kroku (t = 1), dnešní ocenění (t = 1) 0) lze dosáhnout pomocí těchto výpočtů.

K získání ceny opcí na čísle dvě se používají výplaty ve čtyřech a pěti. K získání ceny pro číslo tři se používají výplaty v pěti a šesti. Nakonec jsou vypočtené výplaty ve dvou a třech použity k získání cen v čísle jedna.

Vezměte prosím na vědomí, že tento příklad předpokládá stejný faktor pro pohyb nahoru a dolů v obou krocích - u a d jsou aplikovány složeným způsobem.

Pracovní příklad

Předpokládejme, že prodejní opce s realizační cenou 110 USD se v současné době obchoduje za 100 USD a její platnost vyprší za jeden rok. Roční bezriziková sazba činí 5%. Očekává se, že cena vzroste o 20% a sníží se o 15% každých šest měsíců.

Zde, u = 1, 2 a d = 0, 85, x = 100, t = 0, 5

za použití výše uvedeného vzorce vzorce

q = e (−rt) −du − dq = \ frac {e (-rt) - d} {u - d} q = u − de (−rt) −d

dostaneme q = 0, 35802832

hodnota put opce v bodě 2,

p2 = e (−rt) × (p × Pupup + (1 − q) Pupdn) kde: p = Cena prodejní opce \ begin {Zarovnání} & p_2 = e (-rt) \ times (p \ times P_ \ text {upup} + (1 - q) P_ \ text {updn}) \\ & \ textbf {kde:} \\ & p = \ text {Cena prodejní opce} \\ \ end {zarovnáno} p2 = e (−rt) × (p × Pupup + (1 − q) Pupdn) kde: p = Cena prodejní opce

Za podmínek _upgradu P bude podklad = 100 * 1, 2 * 1, 2 = 144 $, což povede k _upupu P = nula

Za podmínek _aktualizace P bude podklad = 100 * 1, 2 * 0, 85 = 102 $, což povede k _aktualizaci P = 8 $

Za podmínek P _dndn bude podklad = 100 * 0, 85 * 0, 85 = 72, 25 $, což povede k P _dndn = _{37, 75} $

p ₂ = 0, 975309912 * (0, 35802832 * 0 + (1-0, 35802832) * 8) = 5, 008970741

Podobně p ₃ = 0, 975309912 * (0, 35802832 * 8 + (1-0, 35802832) * 37, 75) = 26, 42958924

p1 = e (--rt) × (q × p2 + (1 - q) p3) p_1 = e (-rt) \ krát (q \ krát p_2 + (1 - q) p_3) p1 = e (−rt) × (q × p2 + (1 - q) p3)

A proto hodnota opce s opcí, p ₁ = 0, 975309912 * (0, 35802832 * 5, 008970741 + (1-0, 35802832) * 26, 42958924) = 18, 29 $.

Podobně vám binomické modely umožňují přerušit celou dobu trvání možnosti a dále vylepšovat více kroků a úrovní. Pomocí počítačových programů nebo tabulek můžete pracovat o krok zpět, abyste získali aktuální hodnotu požadované možnosti.

Další příklad

Předpokládejme opci s evropským typem s devíti měsíci do vypršení platnosti, realizační cenou 12 $ a aktuální základní cenou 10 $. Předpokládejte bezrizikovou sazbu 5% pro všechna období. Předpokládejme, že každé tři měsíce se podkladová cena může pohybovat o 20% nahoru nebo dolů, což nám dává u = 1, 2, d = 0, 8, t = 0, 25 a tříkrokový binomický strom.

Červená označuje základní ceny, zatímco modrá označuje návratnost prodejních opcí.

Rizikově neutrální pravděpodobnost „q“ se počítá na 0, 531446.

Za použití výše uvedené hodnoty „q“ a hodnot výplaty v t = devět měsíců se odpovídající hodnoty v t = šest měsíců počítají jako:

Dále, s použitím těchto vypočtených hodnot v t = 6, hodnoty v t = 3, pak v t = 0, jsou:

To dává dnešní hodnotu prodejní opce 2, 18 USD, což je docela blízko tomu, co byste pro výpočet provedli pomocí modelu Black-Scholes (2, 30 $).

Sečteno a podtrženo

I když použití počítačových programů může tyto intenzivní výpočty usnadnit, predikce budoucích cen zůstává hlavním omezením binomických modelů pro oceňování opcí. Čím jemnější jsou časové intervaly, tím obtížnější je předpovídat výplaty na konci každého období s vysokou přesností.

Flexibilita pro zahrnutí očekávaných změn v různých obdobích je plusem, díky čemuž je vhodná pro oceňování amerických opcí, včetně ocenění na začátku cvičení.

Hodnoty vypočtené pomocí binomického modelu se těsně shodují s hodnotami vypočtenými z jiných běžně používaných modelů, jako je Black-Scholes, což ukazuje na užitečnost a přesnost binomických modelů pro stanovení ceny. Binomické cenové modely mohou být vyvinuty podle preferencí obchodníka a mohou fungovat jako alternativa k Black-Scholes.