Složený úrok
Složený úrok (nebo složený úrok) je úrok vypočtený z počáteční jistiny, který také zahrnuje veškerý kumulovaný úrok z předchozích období vkladu nebo půjčky. Předpokládaný vznik v Itálii v 17. století, složený úrok lze považovat za „úrok z úroků“ a způsobí, že částka poroste rychleji než jednoduchý úrok, který se počítá pouze z částky jistiny.
Klíč s sebou
- Složený úrok (nebo složený úrok) je úrok vypočtený z počáteční jistiny, který také zahrnuje veškerý kumulovaný úrok z předchozích období vkladu nebo půjčky.
- Složený úrok se vypočítá vynásobením počáteční částky jistiny jednou plus roční úroková sazba zvýšená na počet složených období mínus jedna.
- Úrok může být složen na jakémkoli daném frekvenčním plánu, od nepřetržitého po denní až ročně.
- Při výpočtu složeného úroku významně ovlivňuje počet kombinovaných období.
Míra, ve které úrokový úrok narůstá, závisí na frekvenci kombinování, takže čím vyšší je počet kombinovaných období, tím vyšší je úrokový úrok. Částka úrokového úroku nahromaděná na 100 USD složená na 10% ročně bude tedy nižší než částka na 100 USD složená na 5% pololetně během stejného časového období. Protože účinek úroku na úrok může na základě počáteční částky jistiny generovat stále více pozitivních výnosů, je někdy označován jako „zázrak složeného úroku“.
1:59Pochopení složeného úroku
Výpočet úrokového úroku
Složený úrok se vypočítá vynásobením počáteční částky jistiny jednou plus roční úroková sazba zvýšená na počet složených období mínus jedna. Celková počáteční částka úvěru se odečte od výsledné hodnoty.
Vzorec pro výpočet úrokového podílu je:
Složený úrok = celková částka jistiny a úroků v budoucnosti (nebo budoucí hodnota) mínus částka jistiny v současnosti (nebo současná hodnota)
= [P (1 + i ) n ] - P
= P [(1 + i ) n - 1]
(Kde P = hlavní, i = nominální roční úroková sazba v procentech a n = počet kombinovaných období.)
Vezměte si tříletou půjčku 10 000 $ s úrokovou sazbou 5%, která se každoročně kombinuje. Jaká by byla výše úroku ">
Růst složeného úroku
Použitím výše uvedeného příkladu, protože složený úrok také bere v úvahu kumulovaný úrok v předchozích obdobích, výše úroku není stejná pro všechny tři roky, jako by to bylo s jednoduchým úrokem. Zatímco celkový splatný úrok během tříletého období této půjčky je 1 576, 25 $, úrok splatný na konci každého roku je uveden v následující tabulce.
Složení období
Při výpočtu složeného úroku významně ovlivňuje počet kombinovaných období. Základním pravidlem je, že čím vyšší je počet kombinovaných období, tím větší je množství složeného úroku.
Následující tabulka ukazuje rozdíl, který může počet kombinovaných období dosáhnout pro půjčku 10 000 $ s roční úrokovou sazbou 10% během 10 let.
Složený úrok může z dlouhodobého hlediska výrazně zvýšit návratnost investic. Zatímco vklad 100 000 $, který obdrží 5% jednoduchého úroku, by vydělal 50 000 dolarů za úrok za 10 let, složený úrok 5% z 10 000 USD by za stejné období činil 62 889, 46 $.
Výpočet složeného Excelu
Pokud už je to od chvíle, kdy jste strávili hodiny matematiky, nebojte se: Existují užitečné nástroje, které vám pomohou sestavit postavu. Mnoho kalkulaček (ručních i počítačových) má exponentní funkce, které lze pro tyto účely využít. Pokud se vyskytnou složitější složené úkoly, lze je provést pomocí aplikace Microsoft Excel - třemi různými způsoby.
- Prvním způsobem výpočtu složeného úroku je znásobení nového ročního zůstatku úrokovou sazbou. Předpokládejme, že vložíte 1 000 USD na spořicí účet s 5% úrokovou sazbou, která se každoročně zvyšuje, a chcete vypočítat zůstatek za pět let. V aplikaci Microsoft Excel zadejte "Year" do buňky A1 a "Balance" do buňky B1. Zadejte 0 až 5 let do buněk A2 až A7. Zůstatek za rok 0 je 1 000 $, takže do buňky B2 zadáte „1 000“. Dále zadejte do buňky B3 "= B2 * 1, 05". Poté zadejte do buňky B4 "= B3 * 1, 05" a pokračujte v tom, dokud se nedostanete do buňky B7. V buňce B7 je výpočet "= B6 * 1, 05". Nakonec je vypočítaná hodnota v buňce B7 - 1 276, 28 USD - zůstatek na vašem spořicím účtu po pěti letech. Chcete-li najít složenou úrokovou hodnotu, odečtěte 1 000 $ od 1 276, 28 USD; tím získáte hodnotu 276, 28 $.
- Druhým způsobem výpočtu úrokového podílu je použití pevného vzorce. Složený úrokový vzorec je ((P * (1 + i) ^ n) - P), kde P je hlavní, i je roční úroková sazba a n je počet období. Pomocí výše uvedených informací zadejte „Hlavní hodnota“ do buňky A1 a 1000 do buňky B1. Dále zadejte „Úroková sazba“ do buňky A2 a „0, 05“ do buňky B2. Do kolonky A3 zadejte „Složené období“ a do buňky B3 zadejte „5“. Nyní můžete vypočítat složený úrok v buňce B4 zadáním "= (B1 * (1 + B2) ^ B3) -B1", což vám dává 276, 28 $.
- Třetím způsobem, jak vypočítat složený úrok, je vytvoření funkce makra. Nejprve spusťte Editor jazyka, který je umístěn na kartě vývojář. Klikněte na nabídku Vložit a poté na Modul. Potom do prvního řádku zadejte „Function Compound_Interest (P As Double, i As Double, n As Double) As Double“. Na druhém řádku stiskněte klávesu tab a zadejte "Compound_Interest = (P * (1 + i) ^ n) - P". Na třetím řádku modulu zadejte „End Function“. Vytvořili jste funkční makro pro výpočet složené úrokové sazby. Pokračujte ze stejného listu aplikace Excel výše, zadejte do buňky A6 "Zájmový zájem" a zadejte "= Sloučený_zájem (B1, B2, B3)". Tím získáte hodnotu 276, 28 $, což je v souladu s prvními dvěma hodnotami.
Použití jiných kalkulaček
Jak již bylo zmíněno výše, online je k dispozici řada kalkulaček složených úroků zdarma a tyto úkoly může provádět i řada ručních kalkulaček.
- Kalkulačka bezplatného složeného úroku nabízená prostřednictvím Financial-Calculators.com je snadno ovladatelná a nabízí možnost výběru složené frekvence od dne do roku. Zahrnuje možnost výběru nepřetržitého sestavování a umožňuje také zadání skutečných počátečních a koncových kalendářních dat. Po zadání nezbytných výpočtových výsledků výsledky ukazují úroky, budoucí hodnotu, roční procentní výnos (APY), což je míra zahrnující složení a denní úroky.
- Investor.gov, web provozovaný Komisí pro cenné papíry a burzy USA (SEC), nabízí bezplatnou online kalkulačku složených úroků. Kalkulačka je poměrně jednoduchá, ale umožňuje zadávání měsíčních dodatečných vkladů do jistiny, což je užitečné pro výpočet výnosu, kde se ukládají další měsíční úspory.
- Bezplatná online kalkulačka úroků s několika dalšími funkcemi je k dispozici na TheCalculatorSite.com. Tato kalkulačka umožňuje výpočty pro různé měny, schopnost započítat měsíční vklady nebo výběry a automaticky také vypočítat zvýšení o měsíční vklady nebo výběry upravené o inflaci.
Frekvence slučování
Úrok může být složen na jakémkoli daném frekvenčním plánu, od denního po roční. Pro finanční nástroje se obvykle používají standardní harmonogramy kmitočtů.
Běžně používaný plán sestavování spořicího účtu v bance je denně. Pro CD jsou typické harmonizační frekvenční plány denní, měsíční nebo pololetní; u účtů peněžního trhu je to často denně. U hypotečních úvěrů na bydlení, půjček na vlastní kapitál, osobních podnikatelských úvěrů nebo účtů na kreditní kartě je nejčastěji používaným plánem sestavování měsíčně. Mohou také existovat rozdíly v časovém rámci, ve kterém je naakumulovaný úrok skutečně připsán na stávající zůstatek. Úroky na účtu mohou být složeny denně, ale připisovány pouze měsíčně. Další úrok na účtu začíná teprve tehdy, je-li úrok skutečně připsán nebo přičten ke stávajícímu zůstatku.
Některé banky nabízejí také něco, co se nazývá nepřetržitě složený úrok, což zvyšuje jistinu v každém možném okamžiku. Z praktických důvodů nenaroste tolik než denní úrokový úrok, pokud nechcete vložit peníze a vybrat je ve stejný den.
Častější kombinování úroků je výhodné pro investora nebo věřitele. Pro dlužníka je opak pravdou.
Časová hodnota peněz
Pochopení časové hodnoty peněz a exponenciálního růstu vytvořeného složením je nezbytné pro investory, kteří se snaží optimalizovat své příjmy a bohatství.
Vzorec pro získání budoucí hodnoty (FV) a současné hodnoty (PV) je následující:
FV = PV (1 + i) n a PV = FV / (1 + i) n
Například budoucí hodnota 10 000 USD se bude kombinovat s 5% ročně po dobu tří let:
= 10 000 $ (1 + 0, 05) 3
= 10 000 $ (1, 157625)
= 11 576, 25 $
Současná hodnota 11 576, 25 $ zlevněná na 5% po dobu tří let:
= 11 576, 25 $ (1 + 0, 05) 3
= 11 576, 25 $ / 1, 157625
= 10 000 $
V tomto případě je diskontním faktorem reciproční hodnota 1, 157625, což se rovná 0, 8638376.
Posouzení „pravidla 72“
Tzv. Pravidlo 72 počítá přibližnou dobu, za kterou se investice zdvojnásobí při dané míře návratnosti nebo úroku „i“ a je dána (72 / i). Lze jej použít pouze pro roční smísení.
Například investice, která má roční návratnost 6%, se za 12 let zdvojnásobí.
Investice s 8% roční návratností se tak za devět let zdvojnásobí.
Složená roční míra růstu (CAGR)
Složená roční míra růstu (CAGR) se používá pro většinu finančních aplikací, které vyžadují výpočet jediné míry růstu za určité časové období.
Řekněme, že vaše investiční portfolio se za pět let rozrostlo z 10 000 na 16 000 USD; co je CAGR? V podstatě to znamená, že PV = - 10 000 $, FV = 16 000 $, nt = 5, takže proměnná „i“ musí být vypočtena. Pomocí finanční kalkulačky nebo Excelu lze ukázat, že i = 9, 86%.
(Všimněte si, že podle konvence o peněžních tocích je vaše počáteční investice (PV) ve výši 10 000 $ zobrazena se záporným znaménkem, protože představuje odliv prostředků. PV a FV musí mít nutně opačné znaky, aby bylo možné vyřešit „i“ výše rovnice).
CAGR Real-life Applications
CAGR je široce používán pro výpočet výnosů za časové období pro akcie, podílové fondy a investiční portfolia. CAGR se také používá ke zjištění, zda správce podílového fondu nebo správce portfolia překročil tržní výnosnost za určité období. Pokud například tržní index poskytl celkovou návratnost 10% za pětileté období, ale správce fondu dosáhl za stejné období pouze ročních výnosů 9%, správce nedosáhl trhu.
CAGR lze také použít pro výpočet očekávané míry růstu investičních portfolií za dlouhé časové období, což je užitečné pro takové účely, jako je úspora při odchodu do důchodu. Zvažte následující příklady:
Příklad 1: Investor s averzí k riziku je spokojený se skromnou 3% roční návratností svého portfolia. Její současné portfolio 100 000 dolarů by proto po 20 letech vzrostlo na 180 611 dolarů. Naproti tomu by investor tolerující riziko, který ve svém portfoliu očekává roční návratnost 6%, viděl růst 20 000 USD na 320 714 USD po 20 letech.
Příklad 2: CAGR lze použít k odhadu, kolik je třeba uložit, aby se ušetřilo pro konkrétní cíl. Pár, který by chtěl ušetřit 50 000 dolarů za 10 let na zálohu na byt, by musel ušetřit 4 165 dolarů ročně, pokud by předpokládal roční návratnost (CAGR) 4% ze svých úspor. Pokud jsou připraveni podstoupit trochu větší riziko a očekávat CAGR ve výši 5%, museli by ročně ušetřit 3 975 $.
Příklad 3: CAGR lze také použít k prokázání výhod investování dříve než později v životě. Pokud je cílem ušetřit 1 milion dolarů do důchodu ve věku 65 let, na základě CAGR ve výši 6%, bude pro dosažení tohoto cíle potřeba 25letá osoba ušetřit 6 462 dolarů ročně. Naproti tomu čtyřicetiletý by musel dosáhnout 18 227 dolarů, což je téměř trojnásobek této částky, aby bylo dosaženo stejného cíle.
- CAGR se také často objevují v ekonomických údajích. Zde je příklad: Čínský HDP na obyvatele se zvýšil z 193 USD v roce 1980 na 6 091 USD v roce 2012. Jaký je roční růst HDP na obyvatele v tomto 32letém období? Míra růstu „i“ je v tomto případě úctyhodných 11, 4%.
Výhody a nevýhody sdružování
Zatímco magie kombinování vedla k apokryfnímu příběhu Alberta Einsteina, který ji nazval osmým zázrakem světa nebo největším vynálezem člověka, kombinování může také fungovat proti spotřebitelům, kteří mají půjčky s velmi vysokými úrokovými sazbami, jako je například dluh na kreditní kartě. Zůstatek na kreditní kartě ve výši 20 000 USD přenášený s úrokovou sazbou 20% složenou měsíčně by vedl k celkovému složenému úroku 4 388 $ za jeden rok nebo přibližně 365 $ za měsíc.
Pozitivní je, že kouzlo slučování může pomoci vašim výhodám, pokud jde o vaše investice, a může být účinným faktorem při tvorbě bohatství. Exponenciální růst vyplývající ze zvyšování zájmu je také důležitý při zmírňování faktorů narušujících bohatství, jako jsou zvyšování životních nákladů, inflace a snižování kupní síly.
Podílové fondy nabízejí investorům jeden z nejjednodušších způsobů využití výhod složeného úroku. V případě, že se rozhodnete reinvestovat dividendy z podílového fondu, získáte více akcií fondu. Postupem času se hromadí více složených úroků a cyklus nákupu dalších akcií bude i nadále pomáhat investicím do fondu zvyšovat hodnotu.
Zvažte investici do podílového fondu otevřenou počátečním 5 000 USD a ročním přírůstkem 2 400 USD. S průměrnou roční návratností 12% 30 let je budoucí hodnota fondu 798 500 USD. Složený úrok je rozdíl mezi peněžními prostředky vloženými do investice a skutečnou budoucí hodnotou investice. V tomto případě přispěním 77 000 USD nebo kumulativním příspěvkem pouhých 200 USD měsíčně, během 30 let, bude složený úrok 721 500 USD budoucího zůstatku. Výnosy ze složených úroků jsou samozřejmě zdanitelné, ledaže jsou peníze na účtu chráněném před daní; je běžně zdaněna standardní sazbou spojenou s daňovým pásmem poplatníka.
Složené úrokové investice
Investor, který se rozhodne pro plán reinvestování v rámci zprostředkovatelského účtu, v zásadě využívá sílu sloučení do všeho, co investuje. Investoři mohou také zažít složený zájem s nákupem dluhopisů s nulovým kupónem. Tradiční emise dluhopisů poskytují investorům pravidelné platby úroků na základě původních podmínek emise dluhopisů, a protože jsou vypláceny investorovi formou šeku, úrok se neskládá. Dluhopisy s nulovým kupónem neposílají investorům šeky; místo toho se tento typ dluhopisu kupuje se slevou na původní hodnotu a postupem času roste. Emitenti dluhopisů s nulovým kupónem využívají sílu složení ke zvýšení hodnoty dluhopisu, takže při splatnosti dosáhne plné ceny.
Složení může také pracovat pro vás při splácení úvěru. Například poloviční splátka hypotéky dvakrát za měsíc, namísto úplného zaplacení jednou měsíčně, skončí zkrácení doby amortizace a ušetří vám značné množství úroků. Když už mluvíme o půjčkách…
Říká, zda je úrok zvýšen
Zákon o pravdě v poskytování půjček (TILA) vyžaduje, aby věřitelé sdělili potenciálním dlužníkům úvěrové podmínky, včetně celkové částky úroků v amerických dolarech, která má být splacena po celou dobu trvání úvěru, a zda úroky jednoduše vznikají nebo jsou složeny.
Další metodou je porovnání úrokové sazby úvěru s jeho roční procentní sazbou (APR), kterou TILA rovněž požaduje, aby věřitelé zveřejnili. APR převádí finanční poplatky z vaší půjčky, které zahrnují veškeré úroky a poplatky, na jednoduchou úrokovou sazbu. Výrazný rozdíl mezi úrokovou sazbou a roční procentní sazbou znamená jeden nebo oba ze dvou scénářů: Vaše půjčka používá složený úrok nebo zahrnuje kromě úroků také poplatky za půjčku.