Porozumění časové hodnotě peněz

Gratulujeme!!! Vyhráli jste hotovostní cenu! Máte dvě možnosti platby: A: Získejte nyní 10 000 $ nebo B: dostanete 10 000 $ za tři roky. Kterou možnost byste vybrali?

Jaká je časová hodnota peněz?

Pokud jste jako většina lidí, rozhodli byste se nyní získat 10 000 $. Koneckonců, tři roky je dlouho čekat. Proč by nějaká racionální osoba odložila platbu do budoucnosti, když teď může mít stejné množství peněz? Pro většinu z nás je brát peníze v současnosti prostě instinktivní. Takže na nejzákladnější úrovni časová hodnota peněz ukazuje, že všechny věci jsou stejné, zdá se lepší mít peníze nyní, než později.

Ale proč? $ 100 účet má stejnou hodnotu jako $ 100 účet za rok, ne? Ve skutečnosti, i když je účet stejný, můžete s penězi udělat mnohem víc, pokud je máte nyní, protože v průběhu času můžete na své peníze získat větší úrok.

Zpět na náš příklad: Přijetím dnes 10 000 $ jste připraveni zvýšit budoucí hodnotu svých peněz investováním a získáváním úroků po určitou dobu. U možnosti B nemáte čas na své straně a platba přijatá za tři roky by byla vaší budoucí hodnotou. Pro ilustraci jsme poskytli časovou osu:

Pokud zvolíte možnost A, vaše budoucí hodnota bude 10 000 $ plus jakýkoli úrok získaný za tři roky. Na druhou stranu by budoucí hodnota pro možnost B byla pouze 10 000 $. Jak tedy přesně spočítat, o kolik více stojí možnost A ve srovnání s možností B? Podívejme se na to.

Základy budoucí hodnoty

Pokud zvolíte možnost A a investujete celkovou částku jednoduchým ročním tempem 4, 5%, budoucí hodnota vaší investice na konci prvního roku bude 10 450 $. Do této částky se dostaneme vynásobením částky jistiny 10 000 USD úrokovou sazbou 4, 5% a následným přičtením úroku k částce jistiny:

10 000 × 0, 045 = $ 450 \ začátku {zarovnáno} & \ 10 000 \ krát 0, 045 = \ $ 450 \\ \ end {zarovnáno} 10 000 × 0, 045 = 450 $

$ 450 + $ 10, 000 = $ 10, 450 \ begin {zarovnáno} & \ $ 450 + \ $ 10, 000 = \ $ 10, 450 \\ \ end {zarovnáno} 450 $ + $ 10, 000 = $ 10, 450

Můžete také vypočítat celkovou částku roční investice jednoduchou manipulací s výše uvedenou rovnicí:

OE = (10 000 × 0, 045) + 10 000 $ = 10 450 $: OE = původní rovnice \ begin {zarovnáno} & \ text {OE} = (\ 10 000 $ \ krát 0, 045) + \ 10 000 = = 10 450 $ \\ & \ textbf {kde :} \\ & \ text {OE} = \ text {Původní rovnice} \\ \ end {zarovnání} OE = (10 000 $ × 0, 045) + 10 000 $ = 10 450 $ kdekoli: OE = Původní rovnice

Manipulace = 10 000 $ × [(1 × 0, 045) +1] = 10 450 $ \ begin {Zarovnáno} & \ text {Manipulation} = \ 10 000 $ \ krát [(1 \ krát 0, 045) + 1] = \ 10 450 $ \\ \ end { Zarovnáno} Manipulace = 10 000 × × [(1 × 0, 045) +1] = 10 450 $

Konečná rovnice = 10 000 × × (0, 045 + 1) = 10 450 $ \ begin {zarovnanost} & \ text {Konečná rovnice} = \ 10 000 $ \ krát (0, 045 + 1) = \ 10 000 $ \\ {end} Zarovnáno = 10 000 $ × (0, 045 + 1) = 10 450 $

Manipulovaná rovnice výše je jednoduše odstraněním podobné proměnné 10 000 $ (hlavní částka) vydělením celé původní rovnice 10 000 $.

Pokud zůstane 10 450 $ na vašem investičním účtu na konci prvního roku nedotčeno a investovali jste jej na 4, 5% na další rok, kolik byste měli? Chcete-li to vypočítat, vezměte si 10 450 $ a vynásobte jej znovu 1, 045 (0, 045 +1). Na konci dvou let byste měli 10 920, 25 $.

Výpočet budoucí hodnoty

Výše uvedený výpočet je tedy ekvivalentem následující rovnice:

Budoucí hodnota = 10 000 × × (1 + 0, 045) × (1 + 0, 045) \ begin {zarovnáno} & \ text {Budoucí hodnota} = \ 10 000 $ \ krát (1 + 0, 045) \ krát (1 + 0, 045) \\ \ end {zarovnáno} Budoucí hodnota = 10 000 $ × (1 + 0, 045) × (1 + 0, 045)

Vzpomeňte si na matematickou třídu a pravidlo exponentů, které říká, že množení podobných výrazů je ekvivalentní přidání jejich exponentů. Ve výše uvedené rovnici jsou dva stejné termíny (1+ 0, 045) a exponent na každém je roven 1. Proto lze rovnici reprezentovat takto:

Budoucí hodnota = 10 000 $ × (1 + 0, 045) 2 \ začátek {zarovnáno} & \ text {Budoucí hodnota} = \ 10 000 $ \ krát (1 + 0, 045) ^ 2 \\ \ end {zarovnáno} Budoucí hodnota = 10 000 $ × ( 1 + 0, 045) 2

Vidíme, že exponent se rovná počtu let, za které peníze vydělávají na investici. Rovnice pro výpočet budoucí tříleté hodnoty investice by tedy vypadala takto:

Budoucí hodnota = 10 000 $ × (1 + 0, 045) 3 \ začátek {zarovnáno} & \ text {Budoucí hodnota} = \ 10 000 $ \ krát (1 + 0, 045) ^ 3 \\ \ end {zarovnáno} Budoucí hodnota = 10 000 $ × ( 1 + 0, 045) 3

Nepotřebujeme však počítat budoucí hodnotu po prvním roce, poté po druhém roce, poté po třetím roce atd. Můžete si to představit najednou, abych tak řekl. Pokud znáte současnou částku peněz, které máte v investici, její návratnost a kolik let chcete tuto investici držet, můžete vypočítat budoucí hodnotu (FV) této částky. Je to provedeno pomocí rovnice:

FV = PV × (1 + i) kdekoli: FV = Budoucí hodnotaPV = Současná hodnota (původní částka peněz) i = Úroková sazba za obdobín = Počet období \ začátek {zarovnáno} & \ text {FV} = \ text { PV} \ times (1 + i) ^ n \\ & \ textbf {kde:} \\ & \ text {FV} = \ text {Budoucí hodnota} \\ & \ text {PV} = \ text {Současná hodnota ( původní částka peněz)} \\ & i = \ text {Úroková sazba za období} \\ & n = \ text {Počet období} \\ \ end {zarovnaný} FV = PV × (1 + i) kdekoli: FV = Budoucí hodnotaPV = současná hodnota (původní částka peněz) i = úroková sazba za obdobín = počet období

Základy současné hodnoty

Pokud jste dnes dostali 10 000 $, jeho současná hodnota by samozřejmě byla 10 000 USD, protože současná hodnota je to, co vám vaše investice dá, pokud byste ji dnes chtěli utratit. Pokud byste za jeden rok dostali 10 000 $, současná hodnota by nebyla 10 000 $, protože ji nemáte v ruce nyní, v současnosti.

Chcete-li najít současnou hodnotu 10 000 $, kterou obdržíte v budoucnosti, musíte předstírat, že 10 000 USD je celková budoucí hodnota částky, kterou jste dnes investovali. Jinými slovy, abychom zjistili současnou hodnotu budoucích 10 000 $, musíme zjistit, kolik bychom dnes museli investovat, abychom mohli získat 10 000 $ za jeden rok.

Pro výpočet současné hodnoty nebo částky, kterou bychom dnes museli investovat, musíte odečíst (hypotetický) akumulovaný úrok od 10 000 USD. Abychom toho dosáhli, můžeme diskontovat budoucí částku platby (10 000 $) úrokovou sazbou za dané období. V podstatě vše, co děláte, je přeuspořádání budoucí hodnotové rovnice výše, abyste mohli vyřešit současnou hodnotu (PV). Výše uvedená budoucí hodnotová rovnice může být přepsána následovně:

PV = FV (1 + i) n \ begin {zarovnané} & \ text {PV} = \ frac {\ text {FV}} {(1 + i) ^ n} \\ \ end {zarovnané} PV = (1 + i) nFV

Alternativní rovnice by byla:

PV = FV × (1 + i) - kdekoli: PV = současná hodnota (původní částka peněz) FV = budoucí hodnotai = úroková sazba za obdobín = počet období \ začátek {zarovnáno} a \ text {PV} = \ text {FV} \ times (1 + i) ^ {- n} \\ & \ textbf {kde:} \\ & \ text {PV} = \ text {Současná hodnota (původní částka peněz)} \\ & \ text {FV} = \ text {Budoucí hodnota} \\ & i = \ text {Úroková sazba za období} \\ & n = \ text {Počet období} \\ \ end {zarovnáno} PV = FV × (1 + i) - kdekoli: PV = současná hodnota (původní částka peněz) FV = budoucí hodnotai = úroková sazba za obdobín = počet období

Výpočet současné hodnoty

Pojďme se vrátit z 10 000 $ nabízených v možnosti B. Pamatujte, že 10 000 $, které mají být získány za tři roky, je opravdu stejné jako budoucí hodnota investice. Kdybychom měli jeden rok, než dostaneme peníze, slevu bychom vrátili o rok zpět. Při použití našeho vzorce současné hodnoty (verze 2) by při současné dvouleté značce byla současná hodnota 10 000 $, která má být přijata v jednom roce, 10 000 x x (1 + 0, 4545) ^-1 = 9569, 38 USD.

Pokud bychom dnes byli na roční hranici, výše 9 569, 38 $ by byla považována za budoucí hodnotu naší investice jeden rok od nynějška.

Na konci prvního roku bychom očekávali, že za dva roky dostaneme platbu 10 000 $. Při úrokové sazbě 4, 5% by výpočet současné hodnoty platby 10 000 $ očekávané za dva roky činil 10 000 $ x (1 + 0, 45) ^-2 = 9157, 30 $.

Samozřejmě kvůli pravidlu exponentů nemusíme vypočítat budoucí hodnotu investice každý rok, počítaje zpět z investice 10 000 dolarů ve třetím roce. Mohli bychom dát rovnici stručněji a použít 10 000 dolarů jako FV. Takto můžete vypočítat dnešní současnou hodnotu 10 000 $ očekávaných z tříleté investice, která vydělala 4, 5%:

8 762, 97 $ = 10 000 × × (1 + 0, 045) −3 \ začátek {zarovnáno} & \ 8 762, 97 = \ 10 000 $ \ krát (1 + 0, 045) ^ {- 3} \\ \ end {zarovnáno} 8 762, 97 $ = 10 000 $ × ( 1 +0, 045) -3

Takže současná hodnota budoucí platby 10 000 USD má dnes hodnotu 8 762, 97 USD, pokud úrokové sazby jsou 4, 5% ročně. Jinými slovy, volba Varianta B je jako vzít nyní 8 762, 97 $ a poté je investovat po dobu tří let. Výše uvedené rovnice ukazují, že možnost A je lepší nejen proto, že vám nabízí peníze právě teď, ale také proto, že vám nabízí v hotovosti 1 237, 03 $ (10 000 - 8 762, 97 $)! Pokud navíc investujete 10 000 $, které obdržíte z možnosti A, vaše volba vám poskytne budoucí hodnotu, která je o 1 411, 66 $ (11 411, 66 $ - 10 000 $) vyšší než budoucí hodnota možnosti B.

Současná hodnota budoucí platby

Pojďme na ante z naší nabídky. Co když je budoucí platba vyšší než částka, kterou obdržíte ihned? Řekněme, že byste dnes mohli získat buď 15 000 $ nebo 18 000 $ za čtyři roky. Rozhodnutí je nyní obtížnější. Pokud se rozhodnete obdržet dnes 15 000 $ a investovat celou částku, můžete nakonec skončit částkou hotovosti za čtyři roky, která je nižší než 18 000 $.

Jak se rozhodnout? Můžete najít budoucí hodnotu 15 000 $, ale protože stále žijeme v současnosti, najdeme současnou hodnotu 18 000 $. Tentokrát předpokládáme, že úrokové sazby jsou v současné době 4%. Nezapomeňte, že rovnice pro současnou hodnotu je následující:

PV = FV × (1 + i) −n \ begin {zarovnané} & \ text {PV} = \ text {FV} \ times (1 + i) ^ {- n} \\ \ end {zarovnané} PV = FV × (1 + i) -

Ve výše uvedené rovnici vše, co děláme, je diskontování budoucí hodnoty investice. Při použití výše uvedených čísel by se současná hodnota platby 18 000 $ za čtyři roky vypočítala jako 18 000 $ x (1 + 0, 04) ^-4 = 15 386, 48 $.

Z výše uvedeného výpočtu nyní víme, že dnešní výběr je mezi rozhodnutím 15 000 nebo 15 386, 48 USD. Měli bychom se samozřejmě rozhodnout odložit platbu o čtyři roky!

Sečteno a podtrženo

Tyto výpočty ukazují, že čas jsou doslova peníze - hodnota peněz, které nyní máte, není stejná jako v budoucnosti a naopak. Proto je důležité vědět, jak vypočítat časovou hodnotu peněz, abyste mohli rozlišovat mezi hodnotou investic, které vám nabízejí návratnost v různých časech. (Související čtení viz část „Časová hodnota peněz a dolar“).