Rozdělení binomického modelu na hodnotu možnosti

Ve finančním světě jsou Black-Scholes a modely binomického oceňování opcí dva z nejdůležitějších konceptů moderní finanční teorie. Oba se používají k ocenění možnosti a každá má své vlastní výhody a nevýhody.

Mezi základní výhody použití binomického modelu patří:

• zobrazení za více období
• průhlednost
• schopnost začlenit pravděpodobnosti

V tomto článku prozkoumáme výhody použití binomického modelu namísto modelu Black-Scholes a poskytneme některé základní kroky k jeho vývoji a vysvětlíme, jak se používá.

Zobrazení za více období

Binomický model poskytuje vícedenní pohled na cenu podkladového aktiva a cenu opce. Na rozdíl od modelu Black-Scholes, který poskytuje numerický výsledek na základě vstupů, binomický model umožňuje výpočet aktiva a možnosti pro více období spolu s rozsahem možných výsledků pro každé období (viz níže).

Výhodou tohoto vícedenního pohledu je, že uživatel může vizualizovat změnu ceny aktiv z období na období a vyhodnotit možnost na základě rozhodnutí učiněných v různých časových okamžicích. U opce založené na USA, která může být uplatněna kdykoli před datem expirace, může binomický model poskytnout informace o tom, kdy může být opce uplatněna a kdy by měla být držena po delší dobu. Při pohledu na binomický strom hodnot může obchodník předem určit, kdy může dojít k rozhodnutí o cvičení. Pokud má opce kladnou hodnotu, existuje možnost uplatnění, zatímco pokud má opce hodnotu menší než nula, měla by být držena po delší dobu.

Průhlednost

S vícestupňovým přezkumem úzce souvisí schopnost binomického modelu poskytovat průhlednost podkladové hodnotě aktiva a možnosti s postupem času. Model Black-Scholes má pět vstupů:

1. Bezriziková sazba
2. Cvičební cena
3. Aktuální cena aktiva
4. Čas do splatnosti
5. Implikovaná volatilita ceny aktiv

Když jsou tyto datové body vloženy do Black-Scholesova modelu, model vypočítá hodnotu pro variantu, ale dopady těchto faktorů nejsou prozrazovány na základě období. S binomickým modelem může obchodník vidět změnu ceny podkladového aktiva z období na období a odpovídající změnu ceny opce.

Začlenění pravděpodobností

Základní metodou výpočtu binomického opčního modelu je použití stejné pravděpodobnosti každé periody úspěchu i neúspěchu, dokud nevyprší platnost opce. Obchodník však může začlenit různé pravděpodobnosti pro každé období na základě nových informací získaných v průběhu času.

Například může existovat šance, že cena podkladového aktiva se může v jednom období zvýšit nebo snížit o 30 procent. Pro druhé období však pravděpodobnost, že se cena podkladového aktiva zvýší, se může zvýšit na 70/30. Pokud například investor hodnotí ropný vrt, není si jistý, jaká je jeho hodnota, ale existuje 50/50 šance, že cena stoupne. Pokud ceny ropy v období 1 vzroste a ropa bude ještě cennější a tržní základy nyní poukazují na pokračující zvyšování cen ropy, pravděpodobnost dalšího zhodnocování ceny může nyní činit 70 procent. Binomický model umožňuje tuto flexibilitu; model Black-Scholes ne.

Vývoj modelu

Nejjednodušší binomický model bude mít dva očekávané výnosy, jejichž pravděpodobnost se zvýší až na 100 procent. V našem příkladu existují dva možné výsledky pro ropný vrt v každém časovém bodě. Složitější verze by mohla mít tři nebo více různých výsledků, z nichž každý má pravděpodobnost výskytu.

Pro výpočet výnosů za období počínaje časem nula (nyní) musíme určit hodnotu podkladového aktiva za jedno období od nynějška. V tomto příkladu předpokládáme následující:

• Cena podkladového aktiva (P): 500 USD
• Cvičná cena call opce (K): 600 $
• Bezriziková sazba za období: 1 procento
• Cena se mění každé období: 30 procent nahoru nebo dolů

Cena podkladového aktiva je 500 USD a v období 1 může mít hodnotu 650 nebo 350 $. To by odpovídalo 30% nárůstu nebo poklesu v jednom období. Protože realizační cena nabízených opcí na držení je 600 USD, pokud by podkladové aktivum skončilo na méně než 600 USD, hodnota opce na volání by byla nulová. Na druhé straně, pokud podkladové aktivum přesáhne realizační cenu 600 USD, bude hodnotou call opce rozdíl mezi cenou podkladového aktiva a realizační cenou. Vzorec pro tento výpočet je [max (PK), 0].

max [(P − K), 0] kde: P = Cena podkladového aktiva K = Cvičná cena call opce \ begin {zarovnané} & \ max {\ left [\ left (PK \ right), 0 \ right]} \ \ \ \\ & \ textbf {where:} \\ & P = \ text {Cena podkladového aktiva} \\ & K = \ text {Cvičná cena call opce} \\ \ end {zarovnání} max [(P − K), 0] kde: P = Cena podkladového aktiva K = Realizační cena call opce

Předpokládejme, že existuje 50% šance na stoupání a 50% šance na klesání. Jako příklad se použijí hodnoty období 1, vypočte se jako

max [($ 650 - $ 600), 0] ∗ 0, 5 + max [($ 350 - $ 600), 0] ∗ 0, 5 = $ 50 ∗ 0, 5 + $ 0 = $ 25 \ begin {zarovnáno} & \ max {\ left [\ left (\ $ 650 - \ $ 600 \ right), 0 \ right]} * 0.5+ \ max {\ left [\ left (\ $ 350 - \ $ 600 \ right), 0 \ right]} * 0.5 \\ & = \ $ 50 * 0, 5 + \ $ 0 = \ $ 25 \\ \ end {zarovnání} max [($ 650 - $ 600), 0] ∗ 0, 5 + max [($ 350 - $ 600), 0] ∗ 0, 5 = $ 50 ∗ 0, 5 + $ 0 = 25 $

Chcete-li získat aktuální hodnotu možnosti volání, musíme slevu 25 USD v období 1 zpět na období 0, což je

$ 25 / (1 + 1%) = $ 24.75 \ $ 25 / \ left (1 + 1 \% \ right) = \ $ 24.75 $ 25 / (1 + 1%) = $ 24.75

Nyní můžete vidět, že pokud se změní pravděpodobnost, změní se také očekávaná hodnota podkladového aktiva. Pokud by se pravděpodobnost měla změnit, lze ji také změnit pro každé následující období a nemusí nutně zůstat po celou dobu stejná.

Binomický model lze snadno rozšířit na více období. Ačkoli model Black-Scholes dokáže vypočítat výsledek prodlouženého data vypršení platnosti, binomický model rozšiřuje rozhodovací body na více období.

Používá se pro binomický model

Kromě použití jako metody pro výpočet hodnoty opce lze binomický model použít také pro projekty nebo investice s vysokou mírou nejistoty, kapitálového rozpočtování a rozhodnutí o přidělování zdrojů a pro projekty s více obdobími nebo vložená možnost pokračovat nebo opustit projekt v určitých časových okamžicích.

Jedním jednoduchým příkladem je projekt, který vyžaduje vrtání ropy. Nejistota tohoto typu projektu spočívá v tom, zda má vrtaná půda vůbec nějaký olej, množství oleje, které lze vrtat, je-li nalezen, a cena, za kterou může být olej prodán, jakmile je vytěžen.

Binomický variantní model může pomoci při rozhodování v každém bodě projektu těžby ropy. Předpokládejme například, že se rozhodneme vrtat, ale ropná vrta bude rentabilní, pouze pokud najdeme dostatek ropy a cena ropy přesáhne určité množství. Bude potřeba jedno celé období, aby bylo možné zjistit, kolik oleje můžeme v daném okamžiku vytěžit, jakož i cenu ropy. Po prvním období (například jeden rok) se můžeme na základě těchto dvou datových bodů rozhodnout, zda pokračovat ve vrtání nebo opuštění projektu. Tato rozhodnutí lze provádět nepřetržitě, dokud nedojde k bodu, kdy nemá význam vrtání, kdy bude studna opuštěna.

Sečteno a podtrženo

Binomický model poskytuje podrobnější pohled tím, že umožňuje zobrazení období podkladového aktiva a ceny opce na více období, jakož i rozpětí možných výsledků pro každé období, za více období. Zatímco pro hodnocení možností lze použít jak model Black-Scholes, tak i binomický model, binomický model má širší škálu aplikací, je intuitivnější a snadněji se používá.