Optimalizujte své portfolio pomocí normální distribuce

Normální rozdělení je rozdělení pravděpodobnosti, které vykresluje všechny jeho hodnoty symetricky, přičemž většina výsledků se nachází kolem průměru pravděpodobnosti.

Normální distribuce (Bell Curve)

Soubory dat (jako je výška 100 lidí, známky získané 45 žáky ve třídě atd.) Mají tendenci mít mnoho hodnot ve stejném datovém bodě nebo ve stejném rozmezí. Toto rozdělení datových bodů se nazývá normální nebo zvonkové rozdělení křivek.

Například ve skupině 100 jedinců může být 10 pod 5 stop vysokými, 65 může stát mezi 5 a 5, 5 stopami a 25 může být nad 5, 5 stopami. Tuto distribuci vázanou na rozsah lze vykreslit takto:

Podobně se datové body vykreslené v grafech pro libovolnou danou datovou sadu mohou podobat různým typům distribucí. Tři z nejčastějších jsou vlevo zarovnány, zarovnány doprava a neuspořádané distribuce:

Všimněte si červené trendové čáry v každém z těchto grafů. To zhruba naznačuje trend distribuce dat. První „LEFT Aligned Distribution“ označuje, že většina datových bodů spadá do dolního rozsahu. Ve druhém grafu „RIGHT Aligned Distribution“ většina datových bodů klesá na vyšší konec rozsahu, zatímco poslední „Jumbled Distribution“ představuje smíšený soubor dat bez jasného trendu.

Existuje mnoho případů, kdy je rozdělení datových bodů obvykle okolo centrální hodnoty a tento graf ukazuje perfektní normální rozdělení - rovnoměrně vyvážené na obou stranách, s největším počtem datových bodů soustředěných ve středu.

Zde je perfektní, normálně distribuovaná sada dat:

Centrální hodnota je 50 (která má nejvíce datových bodů) a distribuce se rovnoměrně zmenšuje směrem k extrémním koncovým hodnotám 0 a 100 (které mají nejmenší počet datových bodů). Normální rozdělení je symetrické kolem centrální hodnoty s polovinou hodnot na každé straně.

Distribuce zvonové křivky odpovídá mnoha příkladům skutečného života:

• Hodit spravedlivou minci mnohokrát (řekněme 100krát nebo více) a dostanete vyvážené normální rozdělení hlav a ocasu.
• Mnohokrát hodte dvojicí spravedlivých kostek (řekněme 100krát nebo více) a výsledkem bude vyvážené, normální rozdělení soustředěné kolem čísla 7 a rovnoměrně se zužující směrem k extrémním hodnotám 2 a 12.
• Výška jednotlivců ve skupině značné velikosti a známky získané lidmi ve třídě sledují normální distribuční vzorce.
• Ve financích změny hodnot protokolu forexových sazeb, indexů cen a cen akcií se předpokládá, že jsou normálně distribuovány.

Riziko a výnosy

Každá investice má dva aspekty: riziko a návratnost. Investoři hledají co nejnižší riziko pro nejvyšší možný výnos. Normální rozdělení kvantifikuje tyto dva aspekty průměrem výnosů a standardní odchylkou rizika. (Další informace viz „Analýza průměrných odchylek.“)

Průměrná nebo očekávaná hodnota

Konkrétní průměrná změna ceny akcie by mohla být 1, 5% denně - to znamená, že v průměru vzroste o 1, 5%. K této střední hodnotě nebo očekávané hodnotě označující návratnost lze dospět výpočtem průměru na dostatečně velkém datovém souboru obsahujícím historické denní změny cen dané akcie. Čím vyšší je průměr, tím lepší.

Standardní odchylka

Standardní odchylka označuje množství, o které se hodnoty v průměru odchylují od průměru. Čím vyšší je standardní odchylka, tím je investice rizikovější, protože vede k větší nejistotě.

Zde je grafické znázornění téhož:

Grafické znázornění normálního rozdělení prostřednictvím jeho střední a standardní odchylky tedy umožňuje reprezentaci výnosů a rizik v jasně definovaném rozmezí.

Pomáhá vědět (a být s jistotou zajištěno), že pokud některá sada dat sleduje obvyklý distribuční vzorec, její průměr nám umožní vědět, co se očekává návratnost, a jeho standardní odchylka nám umožní vědět, že kolem 68% hodnot bude v rámci 1 standardní odchylky, 95% v rámci 2 směrodatných odchylek a 99% hodnot spadá do 3 směrodatných odchylek. Datový soubor, který má průměr 1, 5 a směrodatnou odchylku 1, je mnohem riskantnější než jiný datový soubor, který má průměr 1, 5 a směrodatná odchylka 0, 1.

Znalost těchto hodnot pro každé vybrané aktivum (tj. Akcie, dluhopisy a fondy) povede investora k očekávaným výnosům a rizikům.

Je snadné tento koncept aplikovat a představovat riziko a návratnost jedné akcie, dluhopisu nebo fondu. Lze to však rozšířit na portfolio více aktiv ">

Jednotlivci začínají obchodovat nákupem jedné akcie nebo dluhopisu nebo investováním do podílového fondu. Postupně mají tendenci zvyšovat svůj podíl a kupovat více akcií, fondů nebo jiných aktiv, čímž vytvářejí portfolio. V tomto přírůstkovém scénáři si jednotlivci vytvářejí svá portfolia bez strategie nebo předvídavosti. Profesionální správci fondů, obchodníci a tvůrci trhu sledují systematickou metodu vytváření portfolia pomocí matematického přístupu zvaného moderní teorie portfolia (MPT), který je založen na konceptu „normální distribuce“.

Moderní teorie portfolia

Moderní teorie portfolia (MPT) nabízí systematický matematický přístup, jehož cílem je maximalizovat očekávaný výnos portfolia pro dané množství portfoliového rizika výběrem proporcí různých aktiv. Alternativně také nabízí minimalizaci rizika pro danou úroveň očekávaného výnosu.

Pro dosažení tohoto cíle by aktiva, která mají být zahrnuta do portfolia, neměla být vybírána pouze na základě svých vlastních zásluh, ale místo toho, jak bude každé aktivum fungovat ve srovnání s ostatními aktivy v portfoliu.

Stručně řečeno, MPT definuje, jak nejlépe dosáhnout diverzifikace portfolia pro dosažení nejlepších možných výsledků: maximální výnosy za přijatelnou úroveň rizika nebo minimální riziko pro požadovanou úroveň návratnosti.

Stavební bloky

MPT byl takový revoluční koncept, když bylo představeno, že jeho vynálezci získali Nobelovu cenu. Tato teorie úspěšně poskytla matematický vzorec, který řídí diverzifikaci v investování.

Diverzifikace je technika řízení rizik, která odstraní riziko „všech vajec v jednom košíku“ investováním do nekorelovaných akcií, sektorů nebo tříd aktiv. V ideálním případě pozitivní výkonnost jednoho aktiva v portfoliu zruší negativní výkonnost ostatních aktiv.

Pro výpočet průměrné návratnosti portfolia, které má n různá aktiva, se vypočítá poměrově vážená kombinace výnosů jednotlivých složek.

V důsledku povahy statistických výpočtů a normálního rozdělení se celková návratnost portfolia (R _p ) počítá jako:

Rp = ∑wiRiR_p = \ sum {w_iR_i} Rp = ∑wi Ri

Součet (∑), kde w _i je poměrná váha aktiva i v portfoliu, R _i je návratnost (průměr) aktiva i.

Riziko portfolia (nebo směrodatná odchylka) je funkcí korelace zahrnutých aktiv pro všechny páry aktiv (s ohledem na sebe v páru).

Vzhledem k povaze statistických výpočtů a normálního rozdělení se celkové riziko portfolia (Std-dev) _p počítá jako:

(Std − dev) p = sqrt [∑i∑jwiwj (std − dev) i (std − dev) j (cor − cofij)] \ begin {zarovnání} & \ left (Std-dev \ right) _p = \ \ & sqrt \ left [\ sum_i \ sum_j {w_i} {w_j} \ left (std-dev \ right) _i \ left (std-dev \ right) _j \ left (cor-cof_ {ij} \ right) \ right] \\ \ end {zarovnané} (Std − dev) p = sqrt [i∑ j∑ wi wj (std − dev) i (std − dev) j (cor − cofij)] Cvičení

Zde je cor-cof korelační koeficient mezi návratem aktiv i a j a sqrt je druhá odmocnina.

Tím je zajištěna relativní výkonnost každého aktiva vůči druhému.

Ačkoli se to zdá matematicky složité, zde použitý jednoduchý koncept zahrnuje nejen standardní odchylky jednotlivých aktiv, ale také související s ohledem na sebe.

Dobrý příklad je k dispozici zde z University of Washington.

Rychlý příklad MPT

Jako myšlenkový experiment si představme, že jsme manažer portfolia, kterému byl dán kapitál a který má za úkol, kolik kapitálu by mělo být přiděleno dvěma dostupným aktivům (A a B), aby byl maximalizován očekávaný výnos a sníženo riziko.

K dispozici jsou také následující hodnoty:

Ra = 0, 175

Rb = 0, 055

(Std-dev) _a = 0, 258

(Std-dev) _b = 0, 115

(Std-dev) _ab = -0, 004875

(Cor-cof) _ab = -0, 164

Počínaje stejnou alokací 50-50 pro každé aktivum A a B, Rp vypočítá na 0, 115 a (Std-dev) _p dosáhne 0, 13323. Jednoduché srovnání nám říká, že u tohoto 2 portfolia aktiv jsou návratnost i riziko uprostřed mezi jednotlivými hodnotami každého aktiva.

Naším cílem je však zlepšit návratnost portfolia nad pouhý průměr jednotlivých aktiv a snížit riziko tak, aby bylo nižší než u jednotlivých aktiv.

Pojďme nyní zaujmout 1, 5 alokaci kapitálu v aktivě A a -0, 5 alokaci kapitálu v aktivě B. (Záporná alokace kapitálu znamená, že zkratka, že získaná zásoba a kapitál se použije na nákup přebytku jiného aktiva s kladnou alokací kapitálu. jinými slovy, zkratujeme akcie B na 0, 5násobek kapitálu a pomocí těchto peněz nakupujeme akcie A za částku 1, 5krát kapitálu.)

Použitím těchto hodnot dostaneme Rp jako 0, 1604 a (Std-dev) _p jako 0, 4005.

Podobně můžeme i nadále používat různé alokační váhy k aktivu A a B a dospět k různým sadám Rp a (Std-dev) p. Podle požadovaného výnosu (Rp) je možné zvolit nejpřijatelnější úroveň rizika (std-dev) p. Alternativně lze pro požadovanou úroveň rizika zvolit nejlepší dostupný výnos z portfolia. Prostřednictvím tohoto matematického modelu teorie portfolia je v každém případě možné dosáhnout cíle vytvoření efektivního portfolia s požadovanou kombinací rizika a návratnosti.

Použití automatizovaných nástrojů umožňuje snadno a plynule detekovat nejlepší možné přidělené proporce bez nutnosti zdlouhavých manuálních výpočtů.

Efektivní hranice, model stanovení cen aktiv (CAPM) a oceňování aktiv pomocí MPT se také vyvíjejí ze stejného normálního distribučního modelu a jsou rozšířením MPT.

Výzvy k MPT (a základní normální rozdělení)

Bohužel, žádný matematický model není dokonalý a každý má nedostatky a omezení.

Základní předpoklad, že výnosy z akcií sledují normální distribuci, je znovu a znovu zpochybňován. Existuje dostatečný empirický důkaz o případech, kdy hodnoty selhávají v předpokládaném normálním rozdělení. Zakládání komplexních modelů na takových předpokladech může vést k výsledkům s velkými odchylkami.

Pokud půjdeme dále do MPT, výpočty a předpoklady o korelačním koeficientu a zbývající pevnosti (na základě historických dat) nemusí nutně platit pro budoucí očekávané hodnoty. Například na dluhopisových a akciových trzích došlo k dokonalé korelaci na britském trhu v období 2001 až 2004, kdy výnosy z obou aktiv klesaly současně. Ve skutečnosti byl opak pozorován během dlouhých historických období před rokem 2001.

V tomto matematickém modelu se chování investorů nebere v úvahu. Daně a transakční náklady jsou zanedbávány, i když se předpokládá částečná kapitálová alokace a možnost zkrácení aktiv.

Ve skutečnosti žádný z těchto předpokladů nemusí platit, což znamená, že realizované finanční výnosy se mohou výrazně lišit od očekávaných zisků.

Sečteno a podtrženo

Matematické modely poskytují dobrý mechanismus pro kvantifikaci některých proměnných jednoduchými sledovatelnými čísly. Ale kvůli omezením předpokladů mohou modely selhat.

Normální rozdělení, které tvoří základ teorie portfolia, se nemusí nutně vztahovat na akcie a jiné vzorce cen finančních aktiv. Teorie portfolia sama o sobě má spoustu předpokladů, které by měly být kriticky prozkoumány, než učiní důležitá finanční rozhodnutí.