Výpočet současné a budoucí hodnoty anuit

V určitém okamžiku svého života jste možná museli provést řadu fixních plateb za určité časové období - například platby za pronájem nebo za auta - nebo jste za určité období obdrželi řadu plateb, jako jsou úroky z dluhopisů nebo CD. Jde o tzv. Anuity (obecnější použití slova - nezaměňovat s konkrétním finančním produktem, který se nazývá anuita, i když jsou spolu spojeny). Pokud rozumíte časové hodnotě peněz, jste připraveni se dozvědět o anuitách a jak se vypočítávají jejich současné a budoucí hodnoty.

Co jsou anuity?

Anuity jsou v zásadě série fixních plateb požadovaných od vás nebo od vás vyplácených v určené frekvenci v průběhu určitého časového období. Četnost plateb může být roční, pololetní (dvakrát ročně), čtvrtletní a měsíční. Existují dva základní typy anuit: obyčejné anuity a splatné anuity.

• Řádná anuita: Platby jsou vyžadovány na konci každého období. Například přímé dluhopisy obvykle provádějí platby kupónů na konci každých šest měsíců až do data splatnosti dluhopisu.
• Splatná anuita: Platby jsou vyžadovány na začátku každého období. Nájemné je příkladem splatné anuity. Obvykle musíte platit nájemné, když se poprvé nastěhujete na začátku měsíce a poté první každý měsíc poté.

Vzhledem k tomu, že výpočty současné a budoucí hodnoty běžných anuit a splatných anuit jsou mírně odlišné, probereme je samostatně.

Obyčejné anuity

Výpočet budoucí hodnoty

Pokud víte, kolik můžete investovat za období po určité časové období, budoucí hodnota (FV) obyčejného anuitního vzorce je užitečná pro zjištění, kolik byste v budoucnu měli. Pokud provádíte platby z půjčky, budoucí hodnota je užitečná při určování celkových nákladů na půjčku. Pokud víte, kolik plánujete investovat každý rok a pevnou návratnost, vaše anuitní záruky - nebo, u půjček, výši vašich plateb a danou úrokovou sazbu - můžete snadno určit hodnotu svého účtu v kterémkoli bodě budoucnost.

Podívejme se nyní na příklad 1. Zvažte následující plán anuitních peněžních toků:

Pro výpočet budoucí hodnoty anuity musíme vypočítat budoucí hodnotu každého peněžního toku. Předpokládejme, že každý rok obdržíte 1 000 USD na příštích pět let a každou platbu investujete s 5% úrokem. Následující graf ukazuje, kolik byste měli na konci pětiletého období:

Protože musíme přidat budoucí hodnotu každé platby, možná jste si všimli, že pokud máte běžnou anuitu s mnoha peněžními toky, bylo by nutné vypočítat všechny budoucí hodnoty dlouho a pak je sčítat. Naštěstí matematika poskytuje vzorec, který slouží jako zkratka pro nalezení kumulované hodnoty všech peněžních toků získaných z běžné anuity:

FVOrdinární anuita = C × [(1 + i) n −1i] kde: C = peněžní tok za období = úrokový poměr = počet plateb \ začít {zarovnáno} a \ text {FV} _ {\ text {obyčejná ~ anuita }} = \ text {C} \ times \ Big [\ dfrac {(1 + i) ^ n-1} {i} \ Big] \\ & \ textbf {kde:} \\ & \ text {C} = \ text {Peněžní tok za období} \\ & i = \ text {Úroková sazba} \\ & n = \ text {Počet plateb} \\ \ end {zarovnáno} FVOrdinární anuita = C × [i (1 + i) n − 1] kde: C = peněžní tok za období = úroková sazba = počet plateb

Při použití výše uvedeného vzorce pro příklad 1 výše je to výsledek:

FVOrdinární anuita = 1 000 × × [(1 + 0, 05) 5–10, 05] = 1 000 × [5, 53] \ začátek {zarovnáno} \ text {FV} _ {\ text {obyčejná ~ anuita}} & = \ 1 000 $ \ krát \ vlevo [\ frac {(1 + 0, 05) ^ 5-1} {0, 05} \ right] \\ & = \ $ 1000 \ times [5.53] \\ & = \ $ 5525, 63 \ end {zarovnaný} FVOrdinary Annuity = $ 1000 × [ 0, 05 (1 + 0, 05) 5−1] = 1 000 × × [5, 53]

Výpočet současné hodnoty

Všimněte si, že rozdíl v centech mezi 5 525, 64 a 5 525, 63 $ je způsoben chybou zaokrouhlování v prvním výpočtu. Každá hodnota prvního výpočtu musí být zaokrouhlena na nejbližší cent - čím více musíte zaokrouhlit čísla ve výpočtu, tím pravděpodobnější chyby zaokrouhlování se vyskytnou. Výše uvedený vzorec tedy poskytuje nejen zkratku k nalezení FV běžné anuity, ale také poskytuje přesnější výsledek.

Současná hodnota anuity je jednoduše aktuální hodnotou veškerého příjmu, který z této investice v budoucnosti vyplyne. Tento výpočet je založen na koncepci časové hodnoty peněz, který uvádí, že dolar nyní stojí více než dolar vydělaný v budoucnosti. Z tohoto důvodu výpočty současné hodnoty používají počet časových období, během nichž se generuje příjem, k diskontování hodnoty budoucích plateb.

Pokud byste chtěli určit dnešní hodnotu budoucí řady plateb, musíte použít vzorec, který vypočítává současnou hodnotu (PV) běžné anuity. Toto je vzorec, který byste použili jako součást výpočtu ceny dluhopisů. PV obvyklé anuity vypočítává současnou hodnotu plateb kupónu, které obdržíte v budoucnosti.

Pro příklad 2 použijeme stejný plán anuitních peněžních toků jako v příkladu 1. Abychom získali celkovou diskontovanou hodnotu, musíme vzít současnou hodnotu každé budoucí platby a stejně jako v příkladu 1 přidat peněžní toky společně.

Výpočet a přidání všech těchto hodnot bude opět trvat značné množství času, zejména pokud očekáváme mnoho budoucích plateb. I když četné online kalkulačky dokážou určit současnou hodnotu anuity, není vzorec pro běžnou anuitu příliš komplikovaný pro výpočet ručně, pokud použijeme matematickou zkratku pro PV běžné anuity.

PVOrdinary Annuity = C × [1− (1 + i) −ni] \ text {PV} _ {\ text {Ordinary ~ Anuity}} = \ text {C} \ times \ Big [\ dfrac {1- (1 + i) ^ {- n}} {i} \ Big] PVOrdinární anuita = C × [i1− (1 + i) −n]

Vzorec nám poskytuje PV v několika jednoduchých krocích. Zde je výpočet anuity znázorněné v diagramu pro příklad 2:

PVOrdinární anuita = 1 000 × × [1− (1 + 0, 05) −50, 05] = 1 000 × × [4, 33] \ begin {zarovnáno} \ text {PV} _ {\ text {Obyčejná ~ anuita}} & = \ $ 1000 \ times \ Velký [\ dfrac {1- (1 + 0, 05) ^ {- 5}} {0, 05} \ Velký] \\ & = \ 1000 $ \ krát [4, 33] \\ & = \ $ 4329, 48 \ end {zarovnáno} PVOrdinary Annuity = 1 000 × × [0, 051– (1 + 0, 05) −5] = 1 000 × × [4, 33]

Výpočet budoucí hodnoty

Když dostáváte nebo platíte peněžní toky za splatnou anuitu, rozvrh vašich peněžních toků se zobrazí následovně:

Protože každá platba v řadě se provádí o jedno období dříve, je třeba vzorec vrátit o jedno období zpět. Mírná modifikace vzorce FV běžného anuitu počítá s platbami na začátku každého období. V příkladu 3 si ukážeme, proč je tato změna nutná, když je každá platba 1 000 $ provedena na začátku období, nikoli na konci (úroková sazba je stále 5%):

Všimněte si, že při provádění plateb na začátku období je každá částka na konci období držena déle. Pokud by například byl každý rok investován 1 000 $ namísto 31. prosince každého roku, poslední platba před hodnotou naší investice na konci pěti let (31. prosince) by byla provedena před rokem (1. ledna), nikoli ve stejný den, kdy je oceněna. Budoucí hodnota anuitního vzorce by pak byla následující:

FVAnnuity Due = C × [(1 + i) n −1i] × (1 + i) FV _ {\ text {Annuity Due}} = C \ times \ left [\ frac {(1 + i) ^ n-1 } {i} \ right] \ times (1 + i) FVAnnuity Due = C × [i (1 + i) n − 1] × (1 + i)

Proto,

FVAnnuity Due = 1 000 × × [(1 + 0, 05) 5–10, 05] × (1 + 0, 05) = 1 000 × 5, 53 × 1, 05 \ begin {zarovnanost} FV _ {\ text {Annuity Due}} & = \ $ 1000 \ times \ left \ left [\ frac {(1 + 0, 05) ^ 5-1} {0, 05} \ right] \ times (1 + 0, 05) \\ & = \ $ 1000 \ times5, 53 \ times1.05 \\ & = \ $ 5801, 91 \ end { zarovnáno} FVAnnuity Due = 1 000 × × [0, 05 (1 + 0, 05) 5−1] × (1 + 0, 05) = 1 000 × 5, 53 × 1, 05

Anuita splatná

Výpočet současné hodnoty

Pro současnou hodnotu vzorce pro splácení anuity je třeba diskontovat vzorec o jedno období dopředu, protože platby jsou drženy kratší dobu. Při výpočtu současné hodnoty předpokládáme, že první platba byla provedena dnes.

Tento vzorec bychom mohli použít pro výpočet současné hodnoty vašich budoucích plateb nájemného, ​​jak je uvedeno v nájemní smlouvě podepsané s pronajímatelem. Řekněme, že provedete svou první platbu nájemného (viz příklad 4 níže) na začátku měsíce a vyhodnocujete současnou hodnotu vašeho pětiměsíčního pronájmu ve stejný den. Váš výpočet současné hodnoty bude fungovat následovně:

Samozřejmě můžeme použít zkratku vzorce pro výpočet současné hodnoty splatné anuity:

PVAnnuity Due = C × [1− (1 + i) −ni] × (1 + i) PV _ {\ text {Annuity Due}} = C \ times \ left [\ frac {1- (1 + i) ^ {-n}} {i} \ right] \ times (1 + i) PVAnnuity Due = C × [i1− (1 + i) −n] × (1 + i)

Proto,

PVAnnuity Due = 1 000 × × [(1– (1 + 0, 05) −50, 05] × (1 + 0, 05) = 1 000 × 4, 33 × 1, 05 \ začátek {zarovnáno} PV _ {\ text {splatnost anuity}} & = \ 1 000 $ \ krát \ left [\ frac {(1- (1 + 0.05) ^ {- 5}} {0.05} \ right] \ times (1 + 0.05) \\ & = \ $ 1000 \ times4.33 \ times1.05 \\ & = \ 4545, 95 \ end {zarovnáno} PVAnnuity Due = 1 000 × × [0, 05 (1 - (1 + 0, 05) −5] × (1 + 0, 05) = 1 000 × 4, 33 × 1, 05

Připomeňme, že současná hodnota běžné anuity vrátila hodnotu 4 329, 48 $. Současná hodnota běžné anuity je nižší než hodnota splatné anuity, protože čím dále zpět diskontujeme budoucí platbu, tím nižší je její současná hodnota - každá platba nebo peněžní tok v běžné anuitě nastává o jedno období dále do budoucnosti.

Časová hodnota peněz

Výpočet budoucí hodnoty je založen na konceptu časové hodnoty peněz. To jednoduše znamená, že dolar vydělaný dnes stojí za to víc než dolar vydělaný zítra, protože prostředky, které nyní ovládáte, lze investovat a časem získat úroky. Budoucí hodnota anuity je proto vyšší než součet všech vašich investic, protože tyto příspěvky časem získávaly úroky. Například budoucí hodnota 1 000 USD investovaná dnes při 10% úroku je nyní 1 100 USD za rok. Jeden dolar dnes stojí za 1, 10 dolaru za rok kvůli časové hodnotě peněz.

Předpokládejme, že do své běžné renty budete platit roční platby 5 000 $ po dobu 15 let. Vydělává 9% úrok ročně.

FV = 5 000 $ × {(((1 + 0, 09) 15) -1 0, 01 ÷ 0, 09} = 5 000 × × {((1, 0915) -1 = 0, 09} = 5 000 × 2 642 ÷ 0, 09 \ začít {zarovnáno} FV & = \ 5 000 \ krát \ {(((1 + 0, 09) ^ {15}) - 1) \ div 0, 09 \} \\ & = \ 5 000 \ krát \ {((1, 09 ^ {15}) - 1) \ div 0, 09 \ } \\ & = \ 5 000 $ \ krát 2, 642 \ div 0, 09 \\ & = \ 5 000 $ \ krát \ $ 146 804, 58 \ end {zarovnáno} FV = 5 000 $ × {((((1 + 0, 09) 15) −1) ÷ 0, 09} = 5 000 × × {((1, 0915) −1) ÷ 0, 09} = 5 000 × × 6464 ÷ 0, 09

Bez možnosti seskupování úroků má vaše řada příspěvků 5 000 $ na konci 15 let hodnotu 75 000 USD. Místo toho, se složeným úrokem, je budoucí hodnota vaší anuity téměř dvojnásobná oproti 146 804, 58 $.

Pro výpočet budoucí hodnoty splatné anuity jednoduše vynásobte běžnou budoucí hodnotu 1+ i (úroková sazba). Ve výše uvedeném příkladu je budoucí hodnota anuity splatné se stejnými parametry jednoduše 146, 804, 58 x (1 + 0, 09) nebo 160, 016, 99 $.

Úvahy o současné hodnotě

Při výpočtu současné hodnoty anuity je důležité, aby všechny proměnné byly konzistentní. Pokud například anuita generuje roční platby, musí být úroková sazba také vyjádřena jako roční sazba. Pokud například anuita generuje měsíční platby, musí být úroková sazba vyjádřena také jako měsíční sazba.

Předpokládejme, že anuita má 10% úrokovou sazbu, která generuje roční platby ve výši 3 000 $ na následujících 15 let. Současná hodnota této anuity je:

= $ 3 000 × (((1 - (1 + 0, 1) −15)) ÷ 0, 1) = 3 000 × ((1 -2, 239392) ÷ 0, 1) = 3 000 × × (0, 760608 ÷ 0, 1) = 3 000 × 7 60608 \ start {zarovnáno } & = \ $ 3 000 \ krát (((1 - (1 + 0, 1) ^ {- 15})) \ div 0, 1) \\ & = \ $ 3 000 \ times ((1 - 0, 239392) \ div 0, 1) \\ & = \ $ 3 000 \ krát (0, 760608 \ div 0, 1) \\ & = \ $ 3, 000 \ krát 7, 60608 \\ & = \ $ 22, 818 \ end {zarovnanost} = 3 000 × × ((((1− (1 + 0, 1) −15)) ÷ 0, 1) = 3 000 × × ((1 - 0, 239392) ÷ 0, 1) = 3 000 × × (0, 760608 ÷ 0, 1) = 3 000 × 7 60608

Současná hodnota anuity

Sečteno a podtrženo

Nyní můžete vidět, jak anuity ovlivňují způsob výpočtu současné a budoucí hodnoty jakékoli částky peněz. Nezapomeňte, že frekvence plateb nebo počet plateb a čas, ve kterém jsou tyto platby provedeny (ať už na začátku nebo na konci každého platebního období), jsou všechny proměnné, které je třeba při výpočtu vypočítat.

Při plánování odchodu do důchodu je důležité mít dobrou představu o tom, kolik příjmů se můžete spolehnout každý rok. I když může být poměrně snadné sledovat, kolik vložíte do penzijních plánů sponzorovaných zaměstnavatelem, individuálních důchodových účtů (IRA) a anuit, není vždy tak snadné vědět, kolik dostanete. Naštěstí, pokud jde o anuity s pevnou sazbou nebo plány investované do cenných papírů s pevnou sazbou, existuje jednoduchý způsob, jak vypočítat, kolik peněz můžete očekávat, že budete mít k dispozici po odchodu do důchodu, na základě toho, kolik jste vložili na účet během vašich pracovních let. .