Zkoumání exponenciálně váženého klouzavého průměru
Volatilita je nejčastějším měřítkem rizika, ale má několik příchutí. V předchozím článku jsme ukázali, jak vypočítat jednoduchou historickou volatilitu. V tomto článku se zlepšíme jednoduchou volatilitu a probereme exponenciálně vážený klouzavý průměr (EWMA).
Historická vs. implikovaná volatilita
Nejprve pojďme tuto metriku do trochu perspektivy. Existují dva obecné přístupy: historická a implikovaná (nebo implicitní) volatilita. Historický přístup předpokládá, že minulost je prolog; měříme historii v naději, že je prediktivní. Implikovaná volatilita na druhou stranu ignoruje historii; řeší volatilitu plynoucí z tržních cen. Doufá, že trh ví nejlépe a že tržní cena obsahuje, i když implicitně, konsenzuální odhad volatility.
Zaměříme-li se pouze na tři historické přístupy (vlevo nahoře), mají společné dva kroky:
- Vypočítejte řadu periodických návratů
- Použijte systém vážení
Nejprve vypočítáme periodický výnos. To je obvykle řada denních výnosů, kde je každý výnos vyjádřen v průběžně složených termínech. Pro každý den bereme přirozený protokol o poměru cen akcií (tj. Cena dnes dělená cenou včera atd.).
ui = lnsisi − 1where: ui = návrat v den isi = cena akcií v den isi − 1 = cena akcií den před dnem i \ begin {align} & u_i = ln \ frac {s_i} {s_ {i - 1}} \\ & \ textbf {kde:} \\ & u_i = \ text {návrat v den} i \\ & s_i = \ text {cena akcií v den} i \\ & s_ {i - 1} = \ text {cena akcií v den před dnem} i \\ \ end {zarovnáno} ui = lnsi − 1 si kde: ui = návrat v den isi = cena akcií v den isi − 1 = cena akcií den před dnem i Cvičení
To vytváří řadu denních výnosů, od u i do u im, v závislosti na tom, kolik dní (m = dny) měříme.
To nás vede ke druhému kroku: Zde se liší tři přístupy. V předchozím článku jsme ukázali, že v rámci několika přijatelných zjednodušení je jednoduchá rozptyl průměrem na druhou mocninu:
variance = σn2 = 1mΣi = 1mun − 12, kde: m = počet dní měřeno = dayiu = rozdíl návratnosti od průměrného návratu \ begin {zarovnané} & \ text {variance} = \ sigma ^ 2_n = \ frac {1} { m} \ Sigma ^ m_ {i = 1} u ^ 2_ {n - 1} \\ & \ textbf {kde:} \\ & m = \ text {počet měřených dnů} \\ & n = \ text {den} i \\ & u = \ text {rozdíl návratnosti od průměrného návratu} \\ \ end {zarovnanost} variance = σn2 = m1 Σi = 1m un − 12 kde: m = počet dní měřena = dayiu = rozdíl návratnosti z průměrného výnosu
Všimněte si, že tato suma sečte každý z pravidelných výnosů, pak dělí součet počtem dní nebo pozorování (m). Je to tedy opravdu jen průměr pravidelných návratů na druhou. Jinými slovy, každý čtvercový výnos má stejnou váhu. Takže pokud alfa (a) je váhový faktor (konkrétně a = 1 / m), vypadá jednoduchá variance takto:
EWMA vylepšuje jednoduchou variantu
Slabou stránkou tohoto přístupu je, že všechny výnosy mají stejnou váhu. Včerejší (velmi nedávný) návrat nemá na rozptyl větší vliv než návrat z minulého měsíce. Tento problém je vyřešen pomocí exponenciálně váženého klouzavého průměru (EWMA), ve kterém novější výnosy mají větší váhu na rozptylu.
Exponenciálně vážený klouzavý průměr (EWMA) zavádí lambda, která se nazývá vyhlazovací parametr. Lambda musí být méně než jedna. Za této podmínky je namísto stejných hmotností každý výnos na druhou vážen multiplikátorem takto:
Například RiskMetrics TM , společnost zabývající se řízením finančních rizik, má tendenci používat lambdu 0, 94 nebo 94%. V tomto případě je první (poslední) kvadratický periodický výnos vážen (1-0, 94) (0, 94) 0 = 6%. Další návrat na druhou mocninu je jednoduše lambda-násobek předchozí váhy; v tomto případě 6% vynásobené 94% = 5, 64%. A hmotnost třetího předchozího dne se rovná (1-0, 94) (0, 94) 2 = 5, 30%.
To je význam „exponenciálního“ v EWMA: každá hmotnost je stálý multiplikátor (tj. Lambda, který musí být menší než jeden) hmotnosti předchozího dne. To zajišťuje odchylku, která je vážena nebo zkreslena směrem k novějším datům. Rozdíl mezi jednoduše volatilitou a EWMA pro Google je uveden níže.
Jednoduchá volatilita efektivně váží každou periodickou návratnost o 0, 196%, jak je uvedeno ve sloupci O (měli jsme dva roky údajů o denních cenách akcií. To je 509 denních výnosů a 1/509 = 0, 196%). Všimněte si však, že sloupec P přiřadí hmotnost 6%, poté 5, 64%, poté 5, 3% a tak dále. To je jediný rozdíl mezi jednoduchou odchylkou a EWMA.
Pamatujte: po sčítání celé řady (ve sloupci Q) máme rozptyl, který je čtvercem standardní odchylky. Pokud chceme volatilitu, musíme si zapamatovat druhou odmocninu této odchylky.
Jaký je rozdíl v denní volatilitě mezi odchylkou a EWMA v případě společnosti Google “>
Dnešní varianta je funkcí variace předchozího dne
Všimněte si, že jsme potřebovali vypočítat dlouhou řadu exponenciálně klesajících závaží. Zde nebudeme dělat matematiku, ale jednou z nejlepších vlastností EWMA je to, že celá řada se pohodlně redukuje na rekurzivní formule:
σn2 (ewma) = λσn2 + (1 − λ) un − 12, kde: λ = stupeň snížení váhy σ2 = hodnota v časovém období nu2 = hodnota EWMA v časovém období n \ begin {align} & \ sigma ^ 2_n (ewma) = \ lambda \ sigma ^ 2_ {n} + (1 - \ lambda) u ^ 2_ {n - 1} \\ & \ textbf {kde:} \\ & \ lambda = \ text {stupeň snížení váhy} \ \ & \ sigma ^ 2 = \ text {hodnota v časovém období} n \\ & u ^ 2 = \ text {hodnota EWMA v časovém období} n \\ \ end {zarovnáno} σn2 (ewma) = λσn2 + (1 − λ) un − 12 kde: λ = stupeň snížení váhy σ2 = hodnota v časovém období nu2 = hodnota EWMA v časovém období n
Rekurzivní znamená, že dnešní reference rozptylu (tj. Je funkcí rozptylu předchozího dne). Tento vzorec najdete také v tabulce a poskytuje přesně stejný výsledek jako výpočet dlouhé ruky! Říká se: dnešní rozptyl (podle EWMA) se rovná včerejší rozptylu (vážený lambda) plus včerejší čtvercový výnos (vážený jednou minus lambda). Všimněte si, jak jen přidáváme dva termíny: včerejší vážený rozptyl a včerejší vážený a kvadratický návrat.
Přesto je lambda náš vyhlazovací parametr. Vyšší lambda (např. Jako 94% RiskMetric) naznačuje pomalejší rozpad v řadě - v relativním vyjádření budeme mít více datových bodů v sérii a budou „klesat“ pomaleji. Na druhé straně, pokud snížíme lambdu, označíme vyšší rozpad: váhy klesají rychleji a jako přímý výsledek rychlého rozpadu se používá méně datových bodů. (V tabulce je lambda vstup, takže můžete experimentovat s její citlivostí).
souhrn
Volatilita je okamžitá směrodatná odchylka populace a nejběžnější metrika rizika. Je to také druhá odmocnina rozptylu. Můžeme měřit rozptyl historicky nebo implicitně (implikovaná volatilita). Při historickém měření je nejjednodušší metodou jednoduchá variance. Ale slabost s jednoduchým rozptylem je, že všechny výnosy mají stejnou váhu. Čelíme tedy klasickému kompromisu: vždy chceme více dat, ale čím více dat máme, tím více je náš výpočet zředěn vzdálenými (méně relevantními) daty. Exponenciálně vážený klouzavý průměr (EWMA) se při jednoduchém rozptylu zlepšuje přiřazováním závaží periodickým výnosům. Tímto způsobem můžeme použít velkou velikost vzorku, ale také dát větší váhu novějším výnosům.