Jak používat simulaci Monte Carlo s GBM

Jedním z nejčastějších způsobů, jak odhadnout riziko, je použití simulace Monte Carlo (MCS). Například pro výpočet rizikové hodnoty (VaR) portfolia můžeme spustit simulaci Monte Carlo, která se pokouší předpovídat nejhorší pravděpodobnou ztrátu portfolia při intervalu spolehlivosti v zadaném časovém horizontu (vždy je třeba zadat dvě podmínky VaR: důvěra a horizont).

V tomto článku přezkoumáme základní MCS aplikovaný na cenu akcií pomocí jednoho z nejběžnějších finančních modelů: geometrický Brownův pohyb (GBM). Proto, zatímco simulace Monte Carlo může odkazovat na vesmír různých přístupů k simulaci, začneme zde nejzákladnější.

Kde začít

Simulace Monte Carlo je pokus mnohokrát předpovídat budoucnost. Na konci simulace vytvoří tisíce nebo miliony „náhodných pokusů“ distribuci výsledků, které lze analyzovat. Základní kroky jsou následující:

1. Určete model (např. GBM)

Pro tento článek použijeme Geometric Brownian Motion (GBM), což je technicky Markovův proces. To znamená, že cena akcií následuje náhodný krok a je v souladu (přinejmenším) se slabou formou efektivní tržní hypotézy (EMH) - informace o minulých cenách jsou již zahrnuty a další pohyb cen je „podmíněně nezávislý“ na pohyby cen v minulosti.

Vzorec pro GBM je uveden níže:

Kde:

• S = cena akcií
• Δ S = změna ceny akcií
• μ = očekávaný výnos
• σ = standardní odchylka výnosů
• ϵ = Náhodná proměnná
• Δ t = Uplynulé časové období

Pokud přeuspořádáme vzorec tak, aby byl vyřešen pouze pro změnu ceny akcií, vidíme, že GBM říká, že změna ceny akcií je cena akcií "S" vynásobená dvěma termíny nalezenými v závorkách níže:

První termín je „drift“ a druhý termín je „šok“. Pro každé časové období náš model předpokládá, že cena bude „driftovat“ o očekávaný výnos. Drift však bude šokován (přidán nebo odečten) náhodným šokem. Náhodným šokem bude standardní odchylka „s“ vynásobená náhodným číslem „e“. Toto je jednoduše způsob, jak změnit měřítko standardní odchylky.

To je podstata GBM, jak je znázorněno na obrázku 1. Cena akcie sleduje řadu kroků, kde každý krok je drift plus nebo mínus náhodný šok (sám je funkcí standardní odchylky akcie):

Obrázek 1

2. Generujte náhodné testy

Vyzbrojeni specifikací modelu, pak pokračujeme ve spouštění náhodných testů. Pro ilustraci jsme použili Microsoft Excel ke spuštění 40 pokusů. Mějte na paměti, že se jedná o nerealisticky malý vzorek; většina simulací nebo „simů“ provádí nejméně několik tisíc pokusů.

V tomto případě předpokládejme, že akcie začínají v den nula cenou 10 $. Zde je tabulka výsledku, kdy každý časový krok (nebo interval) je jeden den a série běží po dobu deseti dnů (v souhrnu: čtyřicet pokusů s denními kroky po dobu deseti dnů):

Obrázek 2: Geometrický Brownův pohyb

Výsledkem je čtyřicet simulovaných cen akcií na konci 10 dnů. Nikdo z nich neklesl pod 9 $ a jeden nad 11 $.

3. Zpracování výstupu

Simulace přinesla rozdělení hypotetických budoucích výsledků. S výstupem bychom mohli udělat několik věcí.

Pokud například chceme odhadnout VaR s 95% spolehlivostí, pak stačí lokalizovat třicátý osmý výsledek (třetí nejhorší výsledek). Je to proto, že 2/40 se rovná 5%, takže dva nejhorší výsledky jsou v nejnižší 5%.

Pokud naskládáme ilustrované výsledky do zásobníků (každý koš je jedna třetina z $ 1, takže tři zásobníky pokrývají interval od 9 do 10 $), dostaneme následující histogram:

Obrázek 3

Pamatujte, že náš model GBM předpokládá normálnost; cenové výnosy jsou obvykle distribuovány s očekávaným výnosem (střední hodnotou) „m“ a standardní odchylkou „s“. Je zajímavé, že náš histogram nevypadá normálně. Ve skutečnosti s více zkouškami to nebude mít tendenci k normálnosti. Místo toho bude směřovat k lognormálnímu rozdělení: ostrý pokles vlevo od střední hodnoty a vysoce zkosený „dlouhý ocas“ vpravo od střední hodnoty.

Pro začínající studenty to často vede k matoucí dynamice:

• Výnosy z ceny jsou obvykle distribuovány.
• Cenové hladiny jsou normálně distribuovány.

Přemýšlejte o tom tímto způsobem: Zásoba se může vrátit nahoru nebo dolů 5% nebo 10%, ale po určité době nemůže být cena akcií záporná. Dále, zvyšování cen vzhůru nohama má složitý efekt, zatímco poklesy cen směrem dolů snižují základnu: prohrajte 10% a při příštím ztratíte méně.

Zde je graf lognormálního rozdělení superponovaný na našich ilustrovaných předpokladech (např. Počáteční cena 10 $):

Obrázek 4

Sečteno a podtrženo

Simulace Monte Carlo aplikuje vybraný model (který specifikuje chování nástroje) na velkou sadu náhodných pokusů ve snaze vytvořit věrohodnou sadu možných budoucích výsledků. Pokud jde o simulaci cen akcií, nejběžnějším modelem je geometrický Brownův pohyb (GBM). GBM předpokládá, že konstantní drift je doprovázen náhodnými šoky. Zatímco výnosy za období podle GBM jsou obvykle distribuovány, výsledné ceny za více období (například deset dní) jsou obvykle distribuovány logicky.