Použití a meze volatility

Investoři se rádi zaměřují na příslib vysokých výnosů, ale měli by se také zeptat, jaké riziko musí na sebe vzít výměnou za tyto výnosy. I když často mluvíme o riziku v obecném smyslu, existují i ​​formální vyjádření vztahu rizika a odměny. Například poměr Sharpe měří nadměrnou návratnost na jednotku rizika, kde se riziko počítá jako volatilita, což je tradiční a populární měřítko rizika. Jeho statistické vlastnosti jsou dobře známy a jsou součástí několika rámců, například moderní teorie portfolia a Black-Scholesův model. V tomto článku zkoumáme volatilitu, abychom pochopili jeho použití a jeho limity.

Anualizovaná směrodatná odchylka
Na rozdíl od předpokládané volatility - která patří do teorie oceňování opcí a je to výhledový odhad založený na tržním konsensu - pravidelná volatilita vypadá zpětně. Konkrétně se jedná o anualizovanou směrodatnou odchylku historických výnosů.

Tradiční rámce rizik, které se spoléhají na standardní odchylku, obecně předpokládají, že návratnost odpovídá normální distribuci ve tvaru zvonku. Normální rozdělení nám dává praktické pokyny: přibližně dvě třetiny času (68, 3%), výnosy by měly spadat do jedné standardní odchylky (+/-); a 95% času by výnosy měly spadat do dvou směrodatných odchylek. Dvě kvality normálního distribučního grafu jsou hubené „ocasy“ a perfektní symetrie. Skinny ocasy znamenají velmi nízký výskyt (asi 0, 3% času) návratů, které jsou více než tři standardní odchylky od průměru. Symetrie znamená, že frekvence a velikost nárůstu zisku je zrcadlovým obrazem ztrát.

SEE: Vliv volatility na návratnost trhu

Tradiční modely proto považují veškerou nejistotu za riziko, bez ohledu na směr. Jak mnozí lidé ukázali, je to problém, pokud výnosy nejsou symetrické - investoři se obávají svých ztrát „doleva“ průměru, ale nebojí se o zisky napravo od průměru.

Ilustrujeme tento vtip níže dvěma fiktivními akciemi. Klesající zásoba (modrá čára) je naprosto bez rozptylu, a proto vytváří volatilitu na nulu, ale rostoucí zásoba - protože vykazuje několik šoků vzhůru, ale ne jediný pokles - produkuje volatilitu (směrodatná odchylka) 10%.

Teoretické vlastnosti
Když například vypočítáme volatilitu indexu S&P 500 k 31. lednu 2004, dostaneme kdekoli od 14, 7% do 21, 1%. Proč takový rozsah ">

Všimněte si, že volatilita roste se zvyšujícím se intervalem, ale ne téměř v poměru: týdenní není téměř pětinásobek denní částky a měsíční není téměř čtyřikrát týdně. Dospěli jsme ke klíčovému aspektu teorie náhodných procházek: standardní stupnice odchylky (zvýšení) v poměru k druhé odmocnině času. Proto je-li denní směrodatná odchylka 1, 1% a existuje-li 250 obchodních dnů v roce, anualizovaná směrodatná odchylka je denní směrodatná odchylka 1, 1% vynásobená druhou odmocninou 250 (1, 1% x 15, 8 = 18, 1%) . S vědomím toho můžeme anualizovat standardní standardní odchylky intervalu pro S&P 500 vynásobením druhou odmocninou počtu intervalů za rok:

Další teoretická vlastnost volatility tě může nebo nemusí překvapit: eroduje se vrací. Důvodem je klíčový předpoklad myšlenky náhodného procházení: návratnost je vyjádřena v procentech. Představte si, že začnete s $ 100 a poté získáte 10%, abyste získali $ 110. Pak ztratíte 10%, což vám zajistí 99 $ (110 x 90% = 99 $). Poté znovu získáte 10%, na čistých 108, 90 $ (99 x 110% = 108, 9 $). Nakonec ztratíte 10% na čistých 98, 01 $. Může to být kontraintuitivní, ale váš ředitel pomalu eroduje, i když váš průměrný zisk je 0%!

Pokud například očekáváte průměrný roční zisk 10% ročně (tj. Aritmetický průměr), ukáže se, že váš dlouhodobý očekávaný zisk je něco méně než 10% ročně. Ve skutečnosti bude snížena asi o polovinu rozptylu (kde rozptyl je standardní odchylka na druhou). V níže uvedené hypotéze začínáme 100 USD a pak si představíme pět let volatility a končíme 157 USD:

Průměrná roční návratnost za pět let byla 10% (15% + 0% + 20% - 5% + 20% = 50% ÷ 5 = 10%), ale

(CAGR, nebo geometrický návrat) je přesnější míra

, a to bylo pouze 9, 49%. Volatilita výsledek narušila a rozdíl je asi o polovinu rozptyl 1, 1%. Tyto výsledky nepocházejí z historického příkladu, ale pokud jde o očekávání, vzhledem ke standardní odchylce

(rozptyl je čtverec směrodatné odchylky,

^ 2) a očekávaný průměrný zisk

, očekávaný roční výnos je přibližně

- (

^ 2 ÷ 2).

Jsou návraty dobře vedené "> Nasdaq níže (asi 2 500 denních pozorování):

Jak lze očekávat, volatilita Nasdaq (anualizovaná standardní odchylka 28, 8%) je větší než volatilita S&P 500 (anualizovaná standardní odchylka 18, 1%). Můžeme pozorovat dva rozdíly mezi normální distribucí a skutečnými výnosy. Za prvé, skutečné výnosy mají vyšší vrcholy - což znamená větší převahu výnosů blízko průměru. Za druhé, skutečné výnosy mají tlustší ocasy. (Naše zjištění se poněkud ztotožňují s rozsáhlejšími akademickými studiemi, které také mají tendenci najít vysoké vrcholy a tukové ocasy; technický termín je kurtóza). Řekněme, že považujeme mínus tři standardní odchylky za velkou ztrátu: S&P 500 zaznamenala denní ztrátu mínus tři standardní odchylky asi -3, 4% času. Normální křivka předpovídá, že k takové ztrátě dojde asi třikrát za 10 let, ale ve skutečnosti se to stalo 14krát!

Jedná se o rozdělení oddělených intervalových výnosů, ale co říká teorie o návratech v čase "> průměrný roční výnos (za posledních 10 let) byl asi 10, 6% a, jak již bylo řečeno, anualizovaná volatilita byla 18, 1%. Zde provádíme hypotetiku pokus zahájením 100 USD a jeho udržením nad 10 let, ale každý rok vystavujeme investici náhodnému výsledku, který v průměru činil 10, 6% se standardní odchylkou 18, 1%. Tento pokus byl proveden 500krát, takže se jednalo o tzv. Monte Carlo Výsledné cenové výsledky 500 pokusů jsou uvedeny níže:

Normální rozdělení se zobrazuje jako pozadí pouze pro zvýraznění velmi neobvyklých cenových výsledků. Technicky jsou konečné cenové výstupy lognormální (což znamená, že pokud by se osa x převedla na přirozený log x, distribuce by vypadala normálněji). Jde o to, že několik cenových výstupů je na správném místě: z 500 pokusů šest výsledků přineslo výsledek na konci období 700 $! Těchto vzácných výsledků se podařilo vydělat v průměru přes 20%, každý rok, přes 10 let. Na levé straně, protože klesající zůstatek snižuje kumulativní účinky procentních ztrát, dostali jsme jen hrstku konečných výsledků, které byly nižší než 50 USD. Abychom shrnuli obtížný nápad, můžeme říci, že intervalové výnosy - vyjádřené v procentech - jsou normálně distribuovány, ale konečné cenové výstupy jsou normálně distribuovány.

SEE: Multivariační modely: analýza Monte Carlo

A konečně, další zjištění našich pokusů je v souladu s „erozními účinky“ volatility: pokud vaše investice vydělá přesně každý rok přesně, na konci byste drželi přibližně 273 $ (10, 6% složených za 10 let). V tomto experimentu byl však náš celkový očekávaný zisk blíže 250 USD. Jinými slovy, průměrný (aritmetický) roční zisk byl 10, 6%, ale kumulativní (geometrický) zisk byl menší.

Je důležité mít na paměti, že naše simulace předpokládá náhodné procházky: předpokládá, že návraty z jednoho období do dalšího jsou zcela nezávislé. To jsme nijak neprokázali a nejedná se o triviální předpoklad. Pokud se domníváte, že výnosy sledují trendy, technicky říkáte, že vykazují pozitivní sériovou korelaci. Pokud si myslíte, že se vrací k střední hodnotě, pak technicky říkáte, že vykazují negativní sériovou korelaci. Ani postoj není v souladu s nezávislostí.

Sečteno a podtrženo
Volatilita je anualizovaná standardní odchylka výnosů. V tradičním teoretickém rámci to nejen měří riziko, ale ovlivňuje také očekávání dlouhodobých (víceletých) výnosů. Proto nás žádá, abychom akceptovali pochybné předpoklady, že intervaly jsou normálně distribuovány a nezávislé. Pokud jsou tyto předpoklady pravdivé, vysoká volatilita je dvojsečný meč: narušuje váš očekávaný dlouhodobý návrat (snižuje aritmetický průměr na geometrický průměr), ale také vám poskytuje více šancí na dosažení několika velkých zisků.

ZOBRAZIT: Implikovaná volatilita: Kupujte nízké a prodávejte vysoké